21.3 二次函数与一元二次方程-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（沪科版)

数学　九年级　上册 ４０　 0  0 ２１．３　二次函数与一元二次方程   > M (１)当抛物线的顶点在x 轴 上,即抛物线与x 轴只有一 个交点时,相应的方程有两 个相等的实数根,二者不要 混淆,对“数”来说是两个, 对“形”来说是一个． (２)已知二次函数y＝ax２＋ bx＋c的函数值为k,求自 变量的值,就是解一元二 次方程ax２＋bx＋c＝k; 反过来,解一元二次方程 ax２＋bx＋c＝k 就是求二 次 函 数 y＝ax２ ＋bx＋ c－k的函数 值 为 ０ 或 二 次函数y＝ax２＋bx＋c的 函数值为k时自变量的值． 知识点一　二次函数与一元二次方程的关系 １．当二次函数y＝ax２＋bx＋c(a≠０)的函数值y＝０ 时,恰好得到一元二次方程ax２＋bx＋c＝０(a≠０)． 此时,方程的根是二次函数的图象与x 轴交点的横 坐标． ２．二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax２＋ bx＋c 的图象与x 轴的交点 一 元 二 次 方 程 ax２＋bx＋c＝０ 的根 一 元 二 次 方 程 ax２＋bx＋c＝０的 根的判别式Δ 有两个交点 有两个不相等的 实数根 Δ＞０ 有一个交点 有两个相等的实 数根 Δ＝０ 没有交点 没有实数根 Δ＜０ 【例１】画出二次函数y＝x２－２x－３的图象,根据图象 回答下列问题: (１)求图象与x 轴的交点坐标． (２)当x 取何值时,y＝０? 这里x 的取值和方程x２－ ２x－３＝０有什么关系? (３)你能从中得到什么结论? 解 二次函数y＝x２－２x－３的图象 如图所示． (１)图象与x 轴的交点坐标是(－１, ０),(３,０)． (２)当x＝－１或x＝３时,y＝０．这里x 的取值是方 程x２－２x－３＝０的根． 第２１章　二次函数与反比例函数 ４１　 0  0 (３)二次函数y＝x２－２x－３的图象与x 轴的交点的 横坐标是一元二次方程x２－２x－３＝０的两个根;一 元二次方程x２－２x－３＝０的两个根就是二次函数 y＝x２－２x－３的图象与x 轴交点的横坐标． 　二次函数图象与x 轴的交点 和一元二次方程根的关系 　　本题运用转化思维,利用二次函数图象解对应的 一元二次方程,将二次函数问题转化为一元二次方程 问题,即解一元二次方程的实质就是求当二次函数值 为０时的自变量x 的取值,反映在图象上就是求二次 函数图象与x 轴交点的横坐标． 知识点二　用图象法求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程是数形结合思想的具体体 现．对于一元二次方程ax２＋bx＋c＝０(a≠０)来说, 一般有两种求解方法,具体过程如下: 【例２】利用二次函数的图象求一元二次方程－x２＋ ２x－３＝－８的近似解(精确到０．１)． 3 21     1 2 3 4 5 6 7 8 y O x 解 在平面直角坐标系内作出函 数y＝－x２＋２x－３与y＝－８ 的图象,如图所示． 由图象,知方程－x２＋２x－３＝ －８的根是抛物线y＝－x２＋ ２x－３与直线y＝－８的交点 若抛物线y＝ax２＋bx＋ c与x 轴的交点为A(x１,０), B(x２,０),则抛物线的对称轴 方程为x＝ x１＋x２ ２ ,对称轴与 x 轴的交点恰为 线 段AB 的 中点． (１)二 次 函 数y＝ax２＋ bx＋c的图象与直线y＝ h(h 为实数)交点的横坐 标,就 是 一 元 二 次 方 程 ax２＋bx＋c＝h 的根． (２)由于作图或观察有误 差,故由图象得到的根一 般是近似解． (３)我们既可以利用二次 函数 的 图 象 求 一 元 二 次 方程的解,也可以借助一 元二 次 方 程 的 解 来 判 断 二次函数图象的位置． 数学　九年级　上册 ４２　 0  0 图象法求一元二次 方程近似解的根据 用图象法求方程 的 近 似 解时,解的整数部分可以通过 观察图象得到,解的小数部分 的探求需用到函数的性质．当 x 取x１,x２ 时,若对应的y１, y２ 异号,则 方 程 必 有 一 根 在 x１ 与x２ 之间,据此采用逐步 逼近的方法能使得到的根的 精确度越来越高． 对 于 一 元 二 次 不 等 式 ax２＋bx＋c＞０或ax２＋bx＋ c＜０,当a＜０时,可以在不等 式两边同乘－１,转化为二次 项系数为正数的情形再求解． 注意不等式符号的变化． 的横坐标,一个交点的横坐标在－２与－１之间,另一 个交点的横坐标在３与４之间． 先求在－２与－１之间的近似解,利用计算器探索如 下表: x 􀆺 －１．５ －１．４ －１．３ 􀆺 y 􀆺 －８．２５ －７．７６ －７．２９ 􀆺 因此,－１．４是方程－x２＋２x－３＝－８的一个近 似解． 类似地求出另一个近似解,计算如下表: x