21.2 二次函数的图象和性质-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（沪科版)

数学　九年级　上册 ８　 0  0 ２１．２　二次函数的图象和性质 ２１．２．１　二次函数y＝ax２ 的图象和性质 (１)一 般 地,用 描 点 法 所 画的 函 数 图 象 都 是 部 分 的、近似的．为了更有效地 接近真实情况,列表取值 时,一定要注意找关于对 称轴对称的一些点． (２)画图时,取的点越多, 描出的图象就越准确,但 取点过多计算量会过大, 故一 般 在 顶 点 的 两 侧 对 称地各取三个点即可． (３)用平滑曲线顺次连接 各点,不能用线段连接相 邻的点． *AE%U @00%  知识点一　二次函数y＝ax２ 的图象的画法 画二次函数y＝ax２ 的图象,一般用描点法． 【例１】在同一平面直角坐标系内,画出二次函数y＝ １．５x２,y＝－１．５x２ 的图象． 解 列表: x 􀆺 －３ －２ －１ ０ １ ２ ３ 􀆺 y＝１．５x２ 􀆺 １３．５ ６ １．５ ０ １．５ ６ １３．５ 􀆺 y＝－１．５x２ 􀆺 －１３．５－６－１．５ ０ －１．５－６－１３．５􀆺 描点、连线,函数图象如图所示． 第２１章　二次函数与反比例函数 ９　 0  0 　　　对称———画二次函数y＝ax２ 图象的新招 (１)画二次函数的图象时,还可以先用描点法描出y 轴一侧的二次函数的图象,再利用对称性画出另一侧 的图象． (２)通过观察我们可以发现,二次函数y＝－ax２ 的 图象可由二次函数y＝ax２ 的图象沿x 轴翻转或绕 其顶点旋转１８０°得到． 知识点二　二次函数y＝ax２ 的图象和性质 １．二次函数y＝ax２ 的图象 二次函数y＝ax２ 的图象是一条关于y 轴对称的曲 线,这条曲线被称为抛物线． ２．二次函数y＝ax２ 的图象和性质 图象的形状 图象的特点 函数的性质 y＝ax２ (a＞０) 向x 轴左右方向无 限延伸 自变量x 的取值范围是全 体实数 是轴对称图形,对称轴 是y轴(直线x＝０) 对于x 和－x 可得到相同 的函数y 在y 轴左侧是下降 的,在y 轴右 侧 是 上升的 当x＜０时,函数y 随x 的 增大而减小;当x＞０时,函 数y随x的增大而增大 开口向上,图象向上 无限延伸,顶点是原 点(０,０),顶点是图 象的最低点 当x＝０时,函数取得最小 值,y最小值 ＝０,且y 没有最 大值,即y≥０ O y x y＝ax２ (a＜０) 向x 轴左右方向无 限延伸 自变量x 的取值范围是全 体实数 是轴对称图形,对称轴 是y轴(直线x＝０) 对于x 和－x 可得到相同 的函数y 在y 轴左侧是上升 的,在y 轴右 侧 是 下降的 当x＜０时,函数y 随x 的 增大而增大;当x＞０时,函 数y随x的增大而减小 开口向下,图象向下 无限延伸,顶点是原 点(０,０),顶点是图 象的最高点 当x＝０时,函数取得最大 值,y最大值 ＝０,且y 没有最 小值,即y≤０   > M (１)二次函数的增减性在其图 象的对称轴两侧截然相反． (２)|a|决定抛物线的开口大小, 一般来说,|a|越大,抛物线开口 越小,即抛物线越靠近y轴． (３)抛 物 线 y＝ax２ 与 y＝ －ax２ 关于x 轴对称,它们的 开口大小相同,方向相反． 抛物线有对称轴, 两边增减正相反． a 定开口及大小, 线轴交点叫顶点． 顶点非高即最低, 上低下高很显眼． 数学　九年级　上册 １０　 0  0 【例２】已知二次函数y＝－ ３ ２x ２,回答下列问题: (１)其图象的开口方向:　　　　; (２)其图象的对称轴:　　　　; (３)其图象的顶点坐标:　　　　; (４)当x＞０时,y 随x 的增大而　　　　; (５)当x　　　　时,函数有最　　　　值,是　　　　． 解 (１)向下　(２)y 轴　(３)(０,０)　(４)减小 (５)＝０　大　０ 常考题型解读 １．若函数y＝(m＋３)xm ２＋３m－２ 是x 的二次函数． (１)求m 的值． (２)当 m 为何值时,该函数 的图象开口向下? 　 题型一　 利用二次函数y＝ax２ 的图象和性质 求字母的值 【例１】已知函数y＝(n＋２)xn２＋n－４是x 的二次函数． (１)求满足条件的n 的值． (２)当n 为何值时,抛物线有最低点? 求出这个最低 点．此时,当x 为何值时,y 随x 的增大而增大? (３)当n 为何值时,函数有最大值? 最大值是多少? 此时,当x 为何值时,y 随x 的增大而减小? 思路分析 (１)由二次函数的概念可求得n 的值;(２)顶 点是最低点,即函数图象开口向上,二次项系数为正 数;(３)函数有最大值,即函数图象有最高点,开口向 下,二次项系数为负数． 解 (１)由题意,得 n２＋n－４＝２, n＋２≠０．{ 解