15.3 等腰三角形-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（沪科版)

第１５章　轴对称图形与等腰三角形 １９１　 0  0 １５．３　等腰三角形 知识点一　等腰三角形的性质定理及其推论 １．轴对称性 等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线所在的直线 是它的对称轴． ２．等腰三角形的性质定理 名称 文字语言 数学语言 定理１ 等腰三角形的两 底角 相 等．简 称 “等边对等角” 在△ABC 中,若AB＝AC,则 ∠B＝∠C 定理２ 等腰三角形顶角 的平分线垂直平 分底边 在 △ABC 中,若 AB ＝AC, ∠BAD ＝ ∠CAD,则 AD ⊥ BC,BD＝CD ３．“三线合一” 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的 高“三线合一”． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:(１)“三线合一”应用的前提是在同一个等腰三 角形中,“三线”必须是底边上的中线、底边上的高和 顶角的平分线,腰上的中线、高、对应底角的平分线 不一定重合． (２)“三线合一”可以证明角相等、线段相等,还可以 证明线段垂直,即等腰三角形的顶角平分线、底边上 的中线、底边上的高三者中只要满足其中一个,就可 以得出另外两个． (１)不 能 说 底 边 上 的 高、 底边 上 的 中 线 或 顶 角 的 平分 线 是 等 腰 三 角 形 的 对 称 轴,因 为 它 们 不 是 直线． (２)应用“等边对等角”的 前提 是 在 同 一 个 三 角 形 中,不能乱用． (３)“等边对等角”是证明 角相等常用的方法． (１)等 腰 三 角 形 两 腰 上 的 中 线、高分别相等． (２)等腰三角形两底角的平分 线相等． (３)等腰三角形底边的中点到 两腰的距离相等． (４)等腰三角形底边上任意一 点到两腰的距离之和等于一 腰上的高． 数学　八年级　上册 １９２　 0  0 (１)等边三角形是特殊的 等腰三角形,具备等腰三 角形的所有性质． (２)等边三角形各边上的 高、中 线、对 应 角 的 平 分 线重合,且长度相等． (３)等边三角形是轴对称 图形,有 ３ 条 对 称 轴,分 别是 三 边 的 中 线 所 在 的 直线． ４．定理１的推论 文字语言 数学语言 等边三角形三个内角相 等,每 一 个 内 角 都 等 于６０° 在△ABC 中,若 AB＝AC＝ BC,则∠A＝∠B＝∠C＝６０° 【例１】如图１５．３Ｇ１,在△ABC 中,AB＝AC,D 为BC 边的 中点,∠BAD＝３５°,则∠C 的度数为 (　　) 图１５．３Ｇ１ A．３５°　　　　B．４５°　　　　C．５５°　　　　D．６０° 解析 因为AB＝AC, 所以∠B＝∠C．(等边对等角) 又因为D 为BC 边的中点, 所以AD 是∠BAC 的平分线．(三线合一) 因为∠BAD＝３５°, 所以∠BAC＝２∠BAD＝７０°, 所以∠C＝ １ ２× (１８０°－７０°)＝５５°． 故选C． 答案 C 等腰三角形的性质的“两个应用” (１)在求角相等时,常考虑利用三角形全等和等腰三 角形的两个底角相等来解决,注意挖掘和应用条件． (２)利用等腰三角形“三线合一”的性质,不仅能够得出线 段相等、角相等,还可以证明线与线之间的垂直关系． 第１５章　轴对称图形与等腰三角形 １９３　 0  0 图１５．３Ｇ２ 【例２】如图１５．３Ｇ２,已知在等边三角形 ABC 中,BD＝CE,AD 与BE 相交于 点P．求证:AD＝BE． 证明 因为△ABC 是等边三角形, 所以∠ABC＝∠C＝６０°,AB＝BC． 在△ABD 和△BCE 中,因为 AB＝BC, ∠ABC＝∠C＝６０°, BD＝CE, ì î í ï ï ï ï 所以△ABD≌△BCE．(SAS)所以AD＝BE． 知识点二　等腰三角形的判定定理及其推论 名称 文字语言 数学语言 定理 有两个角相等的 三角形是等腰三 角形．简称“等角 对等边” 在△ABC 中,若∠B＝∠C,则 AB＝AC 推论１ 三个角都相等的 三角形是等边三 角形 在△ABC 中,若∠A＝∠B＝ ∠C,则△ABC 是等边三角形 推论２ 有一个角是６０° 的等腰三角形是 等边三角形 在 △ABC 中,AB ＝AC,若 ∠A＝６０°或∠B＝６０°或∠C＝ ６０°,则△ABC 是等边三角形 (１)应用“等角对等边”的 前提 是 在 同 一 个 三 角 形 中,不能乱用． (２)“等角对等边”是证明 线段相等常用的方法． (