15.2 线段的垂直平分线-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（沪科版)

数学　八年级　上册 １８０　 0  0 １５．２　线段的垂直平分线 用尺规作线段垂直平 分线时的注意问题 (１)尺规作图规定的工具 只有 直 尺(无 刻 度 的)和 圆规,操作时应尽量减小 误差． (２)作图时所画弧的半径 一定 要 大 于 已 知 线 段 长 的一半,这是为了保证分 别以 线 段 两 端 点 为 圆 心 所画的弧有两个交点． (３)保留作图痕迹． (１)线段垂直平分线上的任意 点都满足到线段两个端点的 距离相等． (２)线段是一个轴对称图形, 线段的垂直平分线是它的一 条对称轴． 知识点一　线段的垂直平分线的作法 名称 作法 图示 折叠法 通过折纸,使线段AB 的两个 端点A,B 互相重合,则得到 的折线MN 就是线段AB 的 垂直平分线 度量法 先用刻度尺量出线段AA′的 长度,取中点O,再用三角尺 过点O 画线段AA′的垂线l, 则直线l就是线段AA′的垂 直平分线 尺规作 图法 (１)分别以点 A,B 为圆心, 大于 １ ２AB 长为半径画弧交 于点E,F． (２)过点E,F 作直线． 则直线EF 就是线段AB 的 垂直平分线 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:尺规作图法还可以用来作已知线段的中点,上面 表格的图示中的EF 与AB 的交点O 就是线段AB 的 中点． 知识点二　线段垂直平分线的性质 文字语言 数学语言 线段垂直平分线 上的点到线段两 端的距离相等 因为PO⊥AB,OA＝OB,所以PA＝PB 第１５章　轴对称图形与等腰三角形 １８１　 0  0 图１５．２Ｇ１ 【例１】(吉林中考)如图１５．２Ｇ１,已知线 段AB,分别以点A 和点B 为圆心, 大于 １ ２AB 的长为半径作弧,两弧相 交于C,D 两点,作直线CD 交AB 于 点E,在直线CD 上任取一点F,连接 FA,FB．若FA＝５,则FB＝　　　　． 解析 由题意可知,直线CD 是线段AB 的垂直平分 线．因为点F 在直线CD 上,所以FA＝FB． 因为FA＝５,所以FB＝５． 答案５ 知识点三　线段垂直平分线的判定 文字语言 数学语言 到线段两端距离相等的点 在线段的垂直平分线上 因为PA＝PB,所以点P 在线段 AB 的垂直平分线上 图１５．２Ｇ３ 【例２】如 图 １５．２Ｇ３,已 知 AB ＝AD, BC＝DC,BD 交AC 于点O． 求证:(１)△ABC≌△ADC; (２)直线 AC 是线段BD 的 垂 直 平 分线． 证明 (１)因为 AB＝AD,BC＝DC, AC＝AC, 所以△ABC≌△ADC．(SSS) (２)因为AB＝AD, 所以点A 在线段BD 的垂直平分线上．(到线段两端 距离相等的点在线段的垂直平分线上) 因为BC＝DC,所以点C 在线段BD 的垂直平分线上． (到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上) 所以直线AC 是线段BD 的垂直平分线． , 3U C.U E 6 EU (１)此定理实际上为线段 垂直 平 分 线 性 质 定 理 的 逆定理． (２)此定理的作用是判定 点在 线 段 的 垂 直 平 分 线 上或 说 明 一 条 直 线 是 某 线段的垂直平分线． (３)定理中提到的点有无 数个． (４)线段的垂直平分线可 以看 作 是 到 线 段 两 端 点 距 离 相 等 的 所 有 点 的 集合． (５)若直线上存在一点到 线段两端距离相等,但这 条直 线 不 一 定 是 该 线 段 的 垂 直 平 分 线．如 图 １５．２Ｇ２所 示,虽 然 PA＝ PB,但 是 直 线 PC 不 是 AB 的垂直平分线． 图１５．２Ｇ２ 数学　八年级　上册 １８２　 0  0 (１)该性质可用于证明三角形 内的线段相等． (２)锐角三角形三边垂直平分 线的交点在三角形内部;直角 三角形三边垂直平分线的交 点恰为斜边的中点;钝角三角 形三边垂直平分线的交点在 三角形外部． (３)它的逆命题也成立,即到 三角形三个顶点的距离相等 的点是三角形三边垂直平分 线的交点． 证明一条直线是某条线段的垂直平分线的条件 (１)存在两个点:直线上有两个不同的点; (２)距离两两相等:两点到线段两个端点的距离分别 相等． 根据两点确定一条直线才能推导出这两个点所在的 直线是这条线段的垂直平分线． 知识点四　三角形三边垂直平分线的性质 文字语言 数学语言 三角形三边的垂直平分 线相交于一点,这点到 三角形三个顶点的距离 相等