13.2 命题与证明-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（沪科版)

第１３章　三角形中的边角关系、命题与证明 １０５　 0  0 １３．２　命题与证明 知识点一　推理的必要性 　　几何中研究图形的性质时,有些使用了观察、操作 和实验等方法,但如果仅限于观察、操作和实验等方法, 难以使人确信结果的正确性,所以在研究几何图形的性 质时,还需要进行必要的推理． 【例１】先观察,再验证． (１)在图１３．２Ｇ１中,实线是直的还是弯曲的? (２)在图１３．２Ｇ２中,两条线段a 与b,哪一条更长? 图１３．２Ｇ１ 　　　 图１３．２Ｇ２ 解 (１)直接观察图１３．２Ｇ１可得出结论:实线是弯曲 的,但实际上,实线是直的; (２)直接观察图１３．２Ｇ２可得出结论:线段b 比线段a 短,但实际上,这两条线段一样长． 知识点二　命题 命题 定义:对某一事件作出正确或不正确判断的语句 (或式子) 分类 真命题:正确的命题 假命题:错误的命题{ ì î í ï ï ï ï ï ï 【例２】下列语句中是命题的有 (　　) ①相等的角都是直角．②空气是无色无味的．③同旁 内角相等吗? ④两条直线被第三条直线所截．⑤画线 段AB＝５cm． A．１个　　　B．２个　　　C．３个　　　D．４个 (１)推理不但可以使我们对知 识的理解更全面、深入,而且 可以更快地获得新知识． (２)要判断一个数学结论是否 正确,仅仅靠经验、观察或实 验是不够的,必须一步一步、 有理有据地进行推理,检验数 学结论是否正确． (１)“错 误 的 命 题 不 是 命 题”,这 一 说 法 是 不 正 确 的．事 实 上,假 命 题 也 是 命题． (２)命题中常见的关键词有 “是”“不是”“大于”“小于” “如果􀆺􀆺那么􀆺􀆺”等． 数学　八年级　上册 １０６　 0  0 (１)通常情况下,命题都可以 写成“如果􀆺􀆺那么􀆺􀆺”的 形式,当有一些命题的条件和 结论不是十分明显时,我们可 以把 它 改 写 成 “如 果 􀆺􀆺 那 么􀆺􀆺”的形式,再 找 出 它 的 条件和结论． (２)有些命题的条件和结论不 止一个,此时要注意分清它们 的条件和结论． 解析 ①②是命题,因为它们都对某一事件作出了判 断;③④⑤都不是命题,因为它们都没有作出判断,其 中③是疑问句,④描述的是一个状态,⑤叙述的是一 个过程． 答案 B 判断一个语句是否为命题的方法 (１)命题必须是一个完整的语句,且是对某一事件的 陈述,包括肯定句和否定句,而疑问句、感叹句和祈使 句都不是命题． (２)命题必须对某一事件作出肯定或否定的判断． 若满足以上两点,则是命题,否则不是命题． 知识点三　命题的组成 　　数学命题通常由题设和结论两部分组成,命题常写 成“如果􀆺􀆺那么􀆺􀆺”的形式,即 【例３】指出下列命题的条件和结论． (１)如果两个角相等,那么它们是对顶角; (２)若a＞b,b＞c,则a＞c; (３)对顶角相等． 解 (１)条件:两个角相等;结论:它们是对顶角． (２)条件:a＞b,b＞c;结论:a＞c． (３)改写:如果两个角是对顶角,那么这两个角相等． 条件:两个角是对顶角;结论:这两个角相等． 第１３章　三角形中的边角关系、命题与证明 １０７　 0  0 一招教你命题改写 命题改写的原则:不改变命题的原意．为了改写 后语句通顺、措辞准确,可适当添加或删减修饰词语 或调换词序． 命题改写的方法:先搞清楚命题的条件部分(已 知事项)和 结 论 部 分,再 将 其 改 写 为 “如 果 􀆺􀆺 那 么􀆺􀆺”的形式:“如果”后面跟的是条件(已知事项), “那么”后面跟的是结论． 知识点四　互逆命题 １．互逆命题 ２．反例:符合命题条件,但不满足命题结论的例子． 【例４】写出下列命题的逆命题,并判断所写命题的真 假,如果是假命题,请举一个反例． (１)两直线平行,同旁内角互补; (２)若x２≠y２,则x≠y． 解 (１)逆命题是“如果同旁内角互补,那么两直线平 行”,是真命题． (２)逆命题是“若x≠y,则x２≠y２”,是假命题． 反例:当x＝－１,y＝１时,有x≠y,但x２＝y２． 写逆命题的技巧 写一个命题的逆命题,要看该命题是否具备“如 果􀆺􀆺那么􀆺􀆺”的形式,如果不具备,要先改写成 “如果􀆺􀆺那么􀆺􀆺”的形式,再把条件和结论互换, 即可得到该命题的逆命题． (１)互逆命题是指两个命 题间的关系． (２)当一个命题是真(假) 命题时,它的逆命题不一 定是真(假)命题． (３)要说明一个命题是假 命题,只需举出一个反例 即可． 　　　　　　　全是甜葡萄 数学　八年级　上册 １０８　 0  0 (１)以下几条基本事实可以作 为证明的出发点和依据: ①两点确定一条直线． ②两点之间,线段最短． ③同一平面内,过一点有且只