12.3 一次函数与二元一次方程＆12.4 综合与实践 一次函数模型的应用-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（沪科版)

数学　八年级　上册 ５８　 0  0 １２．３　一次函数与二元一次方程 １２．４　综合与实践　一次函数模型的应用 (１)一次函数中的x,y 表 示两个变量,二元一次方 程中的x,y 表示两个未 知数． (２)“相互转化”是指任何 一个 一 次 函 数 都 可 转 化 为一 个 二 元 一 次 方 程 的 形式,任何一个二元一次 方程 都 可 转 化 为 一 次 函 数的形式． (３)“一一对应”是指: ①一 次 函 数 图 象 上 任 意 一点 的 坐 标 都 是 相 应 的 二元一次方程的解; ②以 二 元 一 次 方 程 的 解 为坐 标 的 点 都 在 相 应 的 一次函数图象上． 知识点一　一次函数与二元一次方程的关系 【例１】下面四条直线,其中直线上每个点的坐标都是二 元一次方程x－２y＝２的解的是 (　　) A 　 B 　 C 　 D 解析 因为x－２y＝２,所以y＝ １ ２x－１． 所以当x＝０时,y＝－１;当y＝０时,x＝２． 所以一次函数y＝ １ ２x－１ 的图象与y 轴交于点(０, －１),与x 轴交于点(２,０),即可得出 C 选项符合 要求． 答案 C 　　先把二元一次方程转化为一次函数的形式,确定 直线对应的函数表达式,再求出直线与x 轴、y 轴交 点的坐标,最后对比四个选项即可得出答案． 第１２章　一次函数 ５９　 0  0 知识点二　图象法解二元一次方程组 １． ２．用图象法解二元一次方程组的一般步骤 知识点三　 二元一次方程组的解与一次函数图象 的关系 +   / 　　用图象法可以直观地获 得二元一次方程组的解,但这 样得到的解一般不是很准确, 若想要获得准确的结果,还是 要用代数法来解． 　　 对 于 直 线 y＝k１x＋b１ (k１≠０)和y＝k２x＋b２(k２≠ ０),有如下规律: (１)当k１＝k２,b１＝b２ 时,两直线 重合,方 程 组 y ＝k１x＋b１, y＝k２x＋b２{ 有 无穷多组解; 数学　八年级　上册 ６０　 0  0 (２)当k１＝k２,b１≠b２ 时,两直线 平行,方程组y ＝k１x＋b１, y＝k２x＋b２{ 无解; (３)当k１ ≠k２ 时,两 直 线 相 交,方 程 组 y ＝k１x＋b１, y＝k２x＋b２{ 有 唯一一组解． 　　在运用一次函数来解决 实际问题时,首先判断问题中 的两个变量之间的关系是不 是一次函数关系．只有确定是 一次函数关系时,才可求出函 数表达式,并运用一次函数的 图象 和 性 质 求 得 所 需 要 的 结果． 【例３】既不解方程组也不画图,你能判断下列方程组的 解的情况吗? (１) ３x＋５y＝４, ２x－３y＝－３;{ (２) y＝２x－４, ２y－４x＝３;{ (３) x－２y＝３, ２x＝６＋４y．{ 解 (１)因为 ３ ２≠ ５ －３ ,所以方程组有唯一一组解． (２)y＝２x－４可变形为２x－y＝４． ２y－４x＝３可变形为－４x＋２y＝３． 因为 ２ －４＝ －１ ２ ≠ ４ ３ ,所以方程组无解． (３)２x＝６＋４y 可变形为２x－４y＝６． 因为 １ ２＝ －２ －４＝ ３ ６ ,所以方程组有无穷多组解． 　　 在 判 断 方 程 组 解 的 情 况 时,先 将 方 程 组 化 为 a１x＋b１y＝c１, a２x＋b２y＝c２{ 的形式,再求比值． 知识点四　一次函数模型的应用 【例４】一辆货车在 A 地加满油后,以８０km/h的速度 匀速行驶,前往与 A 地相距６４０km 的B地,下表记 录的是该货车一次加满油后油箱内剩余油量yL与 行驶时间xh之间的关系． 行驶时间x/h ０ １ ２ ２．５ 剩余油量y/L １００ ８０ ６０ ５０ 第１２章　一次函数 ６１　 0  0 (１)写出y 与x 之间的函数表达式; (２)如果货车的行驶速度和每小时的耗油量都不变, 货车行驶４h后到达 A 地和B地之间的 C地,那么 在C地至少加多少升油才能使货车顺利到达 B地? (根据驾驶经验,为保险起见,油箱内余油量应随时不 小于１０L．) 解 (１)如图１２．３Ｇ１,把四组数据在平面直角坐标系中 描出来可知,这四个点在一条直线上,所以y 与x 满 足一次函数关系． 图１２．３Ｇ１ 设函数表达式为y＝kx＋b(k≠０)． 将x＝０,y＝１００ 和x＝１,y＝８０ 分别代入y＝ kx＋b, 得 b＝１００, k＋b＝８０,{ 解得 k＝－２０, b＝１００．{ 所以y与x之间的函数表达式为y＝－２０x＋１００(０≤ x≤５)． (２)当x＝４时,y＝２０, 所以到达C地时还剩２０L油． 从C地到B地需６４０÷８０－４＝４(h), 由题意,得每小时耗油２０L． 设至少加油w L才能使货