12.2 一次函数-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（沪科版)

第１２章　一次函数 ３９　 0  0 １２．２　一次函数 知识点一　一次函数和正比例函数的概念 １．一次函数:形如y＝kx＋b(k,b 为常数,且k≠０)的 函数． ２．正比例函数:形如y＝kx(k为常数,且k≠０)的函数． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:(１)对于一次函数y＝kx＋b(k,b 为常数,且 k≠０),自变量的系数k 不等于０,且自变量x 的次 数为１,而b可以是任意实数． (２)当一次函数y＝kx＋b中的b＝０时,被称为正比 例函数,显然,正比例函数是一次函数的特殊情形, 故正比例函数一定是一次函数,而一次函数不一定 是正比例函数． 【例１】下列函数中,哪些是一次函数? 哪些是正比例 函数? (１)y＝ ６ x ;　　　　 (２)y＝３x２－x(３x－２); (３)y＝x(x－ １ ２) ;　(４)y＝ x＋１ ２ ． 解 (１)因为y＝ ６ x 中 ６ x 不是关于x 的一次整式,所以 它不是一次函数,也不是正比例函数． (２)因为y＝３x２－x(３x－２)＝２x,所以它是一次函数, 也是正比例函数． (３)因为y＝x (x－ １ ２ ) ＝x ２－ １ ２x ,其中x 的最高次 数是２,所以它不是一次函数,也不是正比例函数． (４)因为y＝ x＋１ ２ ＝ １ ２x＋ １ ２ ,所以它是一次函数,不 是正比例函数． ,U +AU  一般情况下,一次函 数自 变 量 的 取 值 范 围 是 全体实数,但在实际问题 中,一次函数自变量的取 值要使实际问题有意义． 数学　八年级　上册 ４０　 0  0 　　因为两点确定一条直线, 所以画正比例函数图象时,只 需描出两点即可．  !  U E + 4 　　判断一个函数的类型,一定要记得经过恒等变形 以后再分析、判断． 知识点二　正比例函数的图象 函数表达式 y＝kx(k为常数,且k≠０) 函数图象 一条经过原点的直线,所以函数y＝kx(k为 常数,且 k ≠０)的 图 象 也 可 以 说 成 直 线y＝kx 画函数图象 时的选点 (０,０),(１,k) 图示 【例２】在同一平面直角坐标系中,画出下列函数的 图象: y＝x,y＝ １ ３x ,y＝２x． 解 列表: x 􀆺 ０ １ 􀆺 y＝x 􀆺 ０ １ 􀆺 y＝ １ ３x 􀆺 ０ １３ 􀆺 y＝２x 􀆺 ０ ２ 􀆺 图１２．２Ｇ１ 如图１２．２Ｇ１,过点(０,０),(１,１)画直 线,得y＝x 的图象; 过点(０,０),(１, １ ３) 画直线 ,得y＝ １ ３x 的图象; 过点(０,０),(１,２)画直线,得y＝２x 的图象． 第１２章　一次函数 ４１　 0  0 知识点三　正比例函数的性质 条件 性质 k＞０ y 随x 的增大而增大(图象是自左向右上升的) k＜０ y 随x 的增大而减小(图象是自左向右下降的) 【例３】已知正比例函数y＝(m＋１)x,y 随x 的增大而 减小,则m 的取值范围是 (　　) A．m＜－１　　　　　　　B．m＞－１ C．m≥－１ D．m≤－１ 解析 因为正比例函数y＝(m＋１)x,y 的值随自变 量x 的增大而减小,所以m＋１＜０,解得m＜－１．故 选 A． 答案 A 知识点四　一次函数的图象 函数表达式 y＝kx＋b(k,b为常数,且k≠０) 函数图象 一条直线,所以函数y＝kx＋b(k,b 为常 数,且k≠０)的图象也可以说成直线y＝ kx＋b 画函数图象 时的选点 与y 轴 的 交 点 为 (０,b),与 x 轴 的 交 点 为 ( －bk ,０) 截距 直线y＝kx＋b与y 轴相交于点(０,b),b就 是直线在y 轴上的截距 正比例函数 图象和一次 函数图象的 关系 直线y＝kx＋b 可以看成是由直线y＝kx 平移|b|个单位长度得到的(当b＞０时,向 上平移;当b＜０时,向下平移) 图示 正比例函数的性质 k 正左低右边高, 越走越高像爬山． k 负左高右边低, 越来越低很明显． (１)截距不是距离,可以是任 意实数． (２)一 次 函 数 图 象 的 平 移 规律: ①上下平移:直线y＝kx＋b 向上平移n(n＞０)个单位得 到直线y＝kx＋b＋n;直 线 y＝kx＋b 向下平移n(n＞０) 个单位得到直线y＝kx＋b－ n,简记为“上