第01讲 平面向量的数量积及其应用5种常见考法归类-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（人教A版2019必修第二册）

第01讲 平面向量的数量积及其应用5种常见考法归类 1．理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积； 2．了解平面向量投影的概念及投影向量的意义； 3．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； 4．能用坐标表示平面向量的数量积、平面向量垂直的条件，会表示两个平面向量的夹角； 1.向量数量积的定义 (1)向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b(如图所示)，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. (2)向量的平行与垂直：当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. (3)向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2.向量的投影 (1)定义：如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，作如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，则称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量. (2)计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cosθe. 注：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． 3.平面向量数量积的几何意义 的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． 4.向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cosθ. 注：任意向量与单位向量的数量积等于这个向量在单位向量上的投影的数量. (2)a⊥b⇔a·b＝0. 注：可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题. (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. 　 注：当两个向量的相等时，这两个向量的数量积等于平面向量的模的平方，因此可以用于求向量的模. (4)． 注：夹角公式，实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两平面的夹角. (5)． 注：可用于解决有关“向量不等式”的问题. 5.向量数量积运算的运算律 对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝b·a； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 6.数量积的坐标表示 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 (当且仅当时等号成立) 7.数量积的有关结论 (1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. (2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (3)a2＋b2＝0⇔a＝0且b＝0. 1、向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．（注：两向量的夹角要共起点且夹角的范围为） (2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．　 2、求向量模的一般思路及常用公式 (1)求向量模的常见思路 (2)常用公式 ①(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2； ②|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.　　　　 3、解决向量垂直问题一般思路 解决向量垂直问题常用向量数量积的性质a⊥b⇔,a·b＝0.这是一个重要性质，对于解平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握. 4、求向量a，b的夹角θ的思路 (1)求向量的夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值． (2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值． 5、解决向量投影问题应注意以下三点 (1)向量a在b方向上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定． (2)向量a在b方向上的投影向量·. (3)注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cos θ. 6、数量积的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ①a·b＝x1x2＋y1y2；a2＝x＋y；＝. 　 ②a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. ③≤. ④设θ是a与b的夹角，则 cosθ＝＝. 考点一：平面向量的数量积运算 例1．已知向量满足，且与夹角