3.4 二元一次方程组的应用-【教材解读】2023秋七年级上册初一数学（沪科版)

３．４二元一次方程组的应用 'F (１)列方程组解应用题是把 “未知”转化成“已知”的过 程,它的关键是把未知量与 已知量联系起来,找出题目 中的相等关系列方程组,在 列方程时还可以借助线段 图、表格等． (２)一般情况下,有几个未 知量就必须列出几个方程, 所列方程必须满足: ①方 程 两 边 表 示 的 是 同 类量; ②同类量的单位要统一; ③方程两边的数值要相等． F K KM ,0 2 U/3 　知识点　列二元一次方程组解决简单的 实际问题 步骤 　　 【例】某童装店老板到厂家选购 A,B两种童装,若购进 A种童 装１２件,B种童装８件,需要资 金１８８０元;若购进 A 种童装 ９件,B种童装１０件,需要资金 １８１０元．求A,B两种童装的进 价分别为每件多少元． 分析题意 → 分析:题中已知两种不同的购买 情况,由此可得相等关系: ↓ 找相等关系 → １２件A种童装的资金＋８件B 种童装的资金＝１８８０元;９件 A种童装的资金＋１０件B种童 装的资金＝１８１０元． ↓ 设未知数 → 解:设 A种童装的进价为每件 x 元,B种童装的进价为每件y 元． ↓ 列方程组 → 由题意,得 １２x＋８y＝１８８０, ９x＋１０y＝１８１０,{ ↓ 解方程组 →解得 x＝９０, y＝１００．{ ↓ (检验并)作答 → 答:A,B两种童装的进价分别为 每件９０元、１００元． ８３１ 题型一　比赛积分问题 【例１】(山东滨州中考)某运动员在一场篮球比赛中的 技术统计如下表所示: 技术 上场 时间/min 出手 投篮/次 投中/次 罚球 得分 篮板/个 助攻/次 个人 总得分 数据 ４６ ６６ ２２ １０ １１ ８ ６０ 注:表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球． 根据以上信息,求本场比赛中该运动员投中２分球和 ３分球各几个． 审题关键:从题中可知,与投球得分有关的信息只有 投中的次数、罚球得分及总得分,剔除无关信息,抓住 有用信息,然后明确得分规则,根据相等关系列方 程组． 破题思路:设本场比赛中该运动员投中２分球x 个,３ 分球y 个,根据投中２２次,２分球得分,３分球得分以 及罚球得分和总得分可列出关于x,y 的二元一次方 程组,解方程组即可得出结论． 解:设本场比赛中该运动员投中２分球x 个,３分球 y 个． 依题意,得 １０＋２x＋３y＝６０, x＋y＝２２,{ 解得 x＝１６, y＝６．{ 答:本场比赛中该运动员投中２分球１６个,３分球 ６个． ?  用二元一次方程组解决积分问题 生活中常见的比赛有篮球比赛、足球比赛和问答 竞赛等．正确解答此类问题的前提是理解题意,明确 具体的积分规则． １．在学校组织的晚会上,掷 飞镖游戏规则如下:如图 ３．４Ｇ１,掷到 A区和B区 的得分不同,A区为小圆 内部分,B区为大圆内小 圆外的部分(掷中一次记 一个点)．现统计小华、小 芳和小明掷中与得分情 况如下: 图３．４Ｇ１ (１)求掷中 A区、B区一 次各得多少分; (２)依此方法计算小明的 得分为多少分． ９３１ ２．某环行跑道一圈长４００m, 若甲、乙两名运动员从起 点同时出发,相背而行, ２５s后相遇;若甲从起点 先跑２s,乙从该点同向出 发追甲,３s后乙追上甲, 求甲、乙两人的速度． ３．张明沿公路匀速前进,每 隔４min就迎面开来一辆 公共汽车,每隔６min就 有一辆公共汽车从背后 超过他．假定公共汽车速 度不变,而且迎面开来的 相邻两辆公共汽车的距 离和从背后开来的相邻 两辆公共汽车的距离都 是１２００m,求张明前进 的 速 度 和 公 共 汽 车 的 速度． 题型二　行程问题 　相遇与追及问题 【例２】甲、乙两人在东西方向笔直的公路上行走,甲在乙 的西边３００m处．若甲、乙二人同时向东走,则３０min 后甲追上乙;若甲、乙两人同时相向而行,则２min后 相遇．求甲、乙两人的速度各是多少． 审题关键:明确行程轨迹,借助示意图分析问题,列方 程组求解． 破题 思 路:设 甲 的 速 度 为 x m/min,乙 的 速 度 为 ym/min,题中的相等关系如图３．４Ｇ２所示． 图３．４Ｇ２ 解:设甲的速度是xm/min,乙的速度是ym/min． 根据题意,得３０x－３０y＝３００ , ２x＋２y＝３００．{ ❶ 解得 x＝８０, y＝７０．{ 答:甲的速度是８０m/min,乙的速度是７０m/min． 过程释疑: ❶根据相等关系“同时向东走,甲追上乙时,甲走的路 程－乙走的路程＝３００m”列方程３０x－３０y＝３００;“相 向而行,相遇时,甲走的路程＋乙走的路程＝３００m”列 方程２x＋２y＝３００． ?  寻找相遇与追及的相等关系 (１)“相向而遇”时,两者所走的路程之和等于他们相 距的