8.1.2样本相关系数 2022-2023学年高二数学同步课件(人教A版2019选择性必修第三册)

第八章 成对数据的统计分析 8.1 成对数据的统计分析 8.1.2 样本相关系数 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系. 1. 相关关系 把成对样本数据用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图. 2. 散点图 3. 正相关与负相关 一个变量随另一个变量的增加呈现减小的趋势. 正相关： 一个变量随另一个变量的增加呈现增加的趋势. 负相关： 复习回顾 新课导入 通过观察散点图中成对样本数据的分布规律,我们可以大致推断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关、是线性相关还是非线性相关等. 散点图虽然直观，但无法确切地反映成对样本数据的相关程度，也就无法量化两个变量之间相关程度的大小. 能否像引人均值、方差等数字特征对单个变量数据进行分析那样，引入一个适当的“数字特征”，对成对样本数据的相关程度进行定量分析呢? 概念生成 样本相关系数 对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(x1, y1), (x2, y2),‧‧‧, (xn, yn)，其中x1, x2, ‧‧‧, xn和y1, y2,‧‧‧, yn的均值分别为 和 . 我们称 为变量x和变量y的样本相关系数. 样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征。 概念解析 样本相关系数的性质 相关系数r的正负和绝对值的大小可以反映成对样本数据的变化特征： ① 当r>0时，成对样本数据正相关； 当r<0时，成对样本数据负相关. ② r的范围：|r|≤1； ③ 当|r|越接近1时，成对数据的线性相关程度越强； 当|r|越接近0时，成对数据的线性相关程度越弱； 特别地， 当|r|＝0时，成对数据的没有线性相关关系； 但不排除它们有其他相关关系 当|r|＝1时，成对数据都落在一条直线上. 提示：利用相关系数r来检验线性相关显著性水平时，通常与0.75作比较，若|r|>0.75，则线性相关较为显著，否则不显著．一般来说，样本容量越大，用样本相关系数估计两个变量的相关系数的效果越好。 新知探究 以下系列图是不同成对样本数据的散点图和相应的样本相关系数. 图(1)中样本相关系数r=0.97，表明成对样本数据的正线性相关程度很强. 图(2)中的样本相关系数r=-0.85, 表明成对样本数据的负线性相关程度比较强. 从样本相关系数来看，图(1)中成对样本数据的线性相关程度要比图(2)中强一些； 图(3)的r=0.24， 成对样本数据的线性相关程度很弱. 图(4)的r =-0.05， 成对样本数据的线性相关程度极弱. 巩固练习 练习：某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图8-1-2所示的散点图，关于样本相关系数的比较，其中正确的是( ) A．r2<r4<0<r3<r1 B．r4<r2<0<r1< r3 C．r4<r2<0<r3<r1 D．r2<r4<0<r1<r3 A 典例解析 例1 根据表8.1-1中脂肪含量和年龄的样本数据，推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 脂肪含量/％ 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄/岁 脂肪含量/% 0 5 10 15 20 25 30 35 40 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 15 解:先画出散点图, 如下图所示. 观察散点图，可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断脂肪含量和年龄线性相关. 解: 根据样本相关系数的定义， 典例解析 ① 利用计算工具计算可得 代入①式，得 由样本相关系数r≈0.97, 可以推断脂肪含量和年龄这两个变量正线性相关，且相关程度很强. 课本103页 2. 已知变量x和变量y的3对随机观测数据(2, 2), (3, －1), (5, －7)，计算成对样本数据的样本相关系数. 能据此推断这两个变量线性相关吗? 为什么? 解： 由样本数据可得 虽然样本相关系数为－1，三个样本点在一条直线上，但是由于样本量太小，据此推断两个变量完全线性相关并不可