28.2.2 应用举例-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（人教版)

第二十八章　锐角三角函数 １２７　 ２８．２．２　应用举例 １．了解仰角、俯角、方向角、坡角、坡度等概念,知道它们的意义． ２．会从实际情境中抽象出直角三角形模型,能运用解直角三角形中的有关知识 解决某些简单的实际问题． 知识点一　仰角和俯角 １．仰角、俯角 名称 定义 图示 仰角 俯角 在视线与水平线所成的 角中,视线在水平线上方 的是仰角 在视线与水平线所成的 角中,视线在水平线下方 的是俯角 ２．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤 (１)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化 为解直角三角形的问题)． (２)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数等解 直角三角形． (３)得到数学问题的答案． (４)得到实际问题的答案． 利用仰角(俯角)求高度 【例１】如图,平地上两栋建筑物AB 和CD 相距３０m,在建筑物AB 的 顶部测得建筑物CD 底部的俯角为 ２６．６°,测得建筑物CD 顶部的仰角 为４５°．求建筑物CD 的高度． (参 考 数 据:sin２６．６° ≈ ０．４５, cos２６．６°≈０．８９,tan２６．６°≈０．５０) 　　(１)仰角和俯角是视线相 对于水平线而言的,不同位置 的仰角和俯角是不同的,可巧 记为“上仰下俯”． 　　(２)当实际问题中遇到仰 角、俯角时,要把它们放在或转 化到直角三角形中运用,并注 意分辨水平线和视线． １．如图(示意图),某班数学小 组测量塔的高度,在与塔底 部B 相距３５m 的C 处,用 高１．５m 的测角仪CD 测得 该塔顶端A 的仰角∠EDA 为３６°．求塔AB 的高度．(结 果精 确 到 １ m．参 考 数 据: sin３６°≈０．５９,cos３６°≈ ０．８１,tan３６°≈０．７３) 数学　九年级　下册 １２８　 ２．(江苏宿迁中考)如图(示意 图),一架无人机沿水平直线 飞行进行测绘工作,在点P 处测得正前方水平地面上某 建筑物AB 的顶端A 的俯角 为３０°,面向AB 方向继续飞 行５m,测得该建筑物底端B 的俯角为４５°,已知建筑物AB 的高为３m,求无人机飞行的 高度(结果精确到１m．参考数 据:２≈１．４１４,３≈１．７３２)． 　　(１)方向角通常是以南北 方向线为基准,一般习惯说成 “南 偏 东 (西 )”或 “北 偏 东 (西)”． 　　(２)观测点不同,所得的 方向角也不同,但各个观测点 的南北方向线是互相平行的, 因此,通常借助此性质进行角 度的转换． 思路分析 设过点A 的水平线与CD 交于点E,根据题 意得出四边形ABDE 为矩形,再根据２６．６°的正切求 出DE,然后根据等腰直角三角形的特点求出CE,最 后根据CD＝CE＋ED,即可得出答案． 解 如图,设过点 A 的水平线与CD 交于点E． 由题意,得四边形ABDE 为矩形． 因为∠DAE＝２６．６°,BD＝３０m, 所以AE＝BD＝３０m,tan２６．６°＝ DE AE , 所以DE＝AE􀅰tan２６．６°≈３０× ０．５０＝１５(m)． 因为∠CAE＝４５°,∠AEC＝９０°,所以∠ACE＝４５°, 所以AE＝CE,所以CE＝３０m, 所以CD＝CE＋ED≈３０＋１５＝４５(m)． 所以建筑物CD 的高度约是４５m． 知识点二　方向角 １．定义 一般地,目标与参照物所在的直线和南北方向所在的 直线所夹的锐角叫做方向角． ２．图示 　　　 点A 在点O 的北偏东 ６０°方向, 点B 在点O 的南偏东 ４５°方向(或东南方向), 点C 在点O 的南偏西 ８０°方向, 点D 在点O 的北偏西 ３０°方向． 利用解直角三角形解决与方向角有关的问题 【例２】(湖北荆门中考)如图,某海域有一小岛P,在以P 为圆心,半径r为１０(３＋ ３)nmile的圆形海域内有暗 礁．一海监船自西向东航行,它在A 处测得小岛P 位于 北偏东６０°的方向上,当海监船行驶２０２nmile后到达 B 处,此时观测小岛P 位于B 处北偏东４５°方向上． 第二十八章　锐角三角函数 １２９　 (１)求A,P 之间的距离AP． (２)若海监船由B 处继续向东航行,是否有触礁危险? 请 说明理由．如果有触礁危险,那么海监船由B 处开始沿南 偏东至多多少度的方向航行才能安全通过这一海域? 思路分析 (１)通过作垂线构造直角三角形,并在直角三 角形中求出AP．(２)在直角三角形中求出小岛P 到 航线AB 的最短距离PC,与暗礁的半径比较即可得 出答案;规划新航线BD,使小岛P 到新航线的距离 PE 等 于 暗 礁 的 半 径,求 出 ∠PBD,进 而 求 出 ∠CBD,即可确定方向角． 解 (１)如图,过点P 作PC⊥AB,交AB 的延长线于点C．由 题意,得∠PAC＝３０°,∠PBC＝４５°,AB＝２０２nmile