28.1 锐角三角函数-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（人教版)

１０５　 第二十八章　锐角三角函数 ２８．１　锐角三角函数 １．理解锐角三角函数(sinA,cosA,tanA)的概念,能准确地运用sinA,cosA, tanA 表示直角三角形中两边的比． ２．熟记３０°,４５°,６０°角的正弦值、余弦值和正切值．能熟练求特殊角的三角函数值 及根据三角函数值求角的度数． ３．会用计算器求锐角三角函数的值或由三角函数的值求相应锐角的度数． 知识点一　锐角三角函数的相关概念 １．正弦、余弦、正切 名称 定义 符号语言 图示 正弦 在Rt△ABC 中,∠C＝ ９０°,把锐角A 的对边 与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA,即 sinA＝ ∠A 的对边 斜边 在Rt△ABC 中,∠C ＝ ９０°,sinA＝ a c 余弦 在Rt△ABC 中,∠C＝ ９０°,把锐角A 的邻边 与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA,即 cosA＝ ∠A 的邻边 斜边 在Rt△ABC 中,∠C ＝ ９０°,cosA＝ b c 正切 在Rt△ABC 中,∠C＝ ９０°,把锐角A 的对边与 邻边的比叫做∠A 的 正切,记作tanA,即 tanA＝ ∠A 的对边 ∠A 的邻边 在Rt△ABC 中,∠C ＝ ９０°,tanA＝ a b 　　(１)sinA,cosA,tanA 分 别是一个整体,不能写成乘积的 形式,sin􀅰A,cos􀅰A,tan􀅰A 的 写法都是错误的． 　　(２)若角是用一个大写字 母或一个小写希腊字母表示 的,则正弦、余弦、正切的写法 中可省略“∠”,如sinα,cosA, tanB;若 角 是 用 三 个 大 写 字 母或数字表示的,则不能省略 “∠”,如sin∠ABC,cos∠１, tan∠BCD． 数学　九年级　下册 １０６　 　　(１)锐角三角函数值的大 小变 化 规 律:当 角 度 在 ０°~ ９０°范围内变化时,正弦值、正 切值 随 着 角 度 的 增 大 (或 减 小)而增大(或减小),余弦值 随着角度的增大(或减小)而 减小(或增大)． 　　(２)同一锐角的三角函数 的关系: ①平方关系,即sin２A＋ cos２A＝１; ②商的关系,即tanA＝ sinA cosA． 　　(３)互为余角的三角函数 的关系: ①任意锐角的正 弦 值 等 于 它 的 余 角 的 余 弦 值,即 sinA ＝cos(９０°－ ∠A)或 cosA＝sin(９０°－∠A); ②任意锐角的正 切 值 与 它的余角的正切值互为倒数, 即tanA􀅰tan(９０°－∠A)＝１． １．如 图,在 Rt△ABC 中,求 ∠A 的正弦值、余弦值和正 切值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:(１)正弦、余弦、正切都是在直角三角形中相对 于锐角定义的,反映了直角三角形中边与角的关系, 不能在非直角三角形中套用． (２)正弦、余弦、正切分别是两条相应线段长度的比, 没有 单 位,只 与 角 的 大 小 有 关,与 三 角 形 的 大 小 无关． ２．锐角三角函数 ∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的锐角三角函数． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:(１)锐角三角函数的实质是一个比,只与锐角 的大小有关．当锐角A 的大小确定后,sinA,cosA, tanA 就都确定了,所以sinA,cosA,tanA 都是以 锐角A 为自变量的函数． (２)因为边长为正数,故其比值一定是正数,所以锐 角三角函数的值都是正数． (３)(sinA)２,(cosA)２,(tanA)２ 一般写成sin２A, cos２A,tan２A,而不能写成sinA２,cosA２,tanA２． (４)锐角三角函数符号后面可以直接跟角度,如sin３０°, cos３９°,tan７８°等． 利用定义法求锐角三角函数值 【例１】如图,在Rt△ABC 中,∠C＝９０°,AC＝１２,BC＝５． 求sinA,cosA 和tanA． 解 在Rt