27.3 位似-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（人教版)

第二十七章　相　似 ８３　 ２７．３　位　似 １．了解位似图形的概念,理解位似变换是特殊的相似变换． ２．掌握位似图形的画法,能够根据相似比的大小把一个图形放大或缩小． ３．掌握以坐标原点为位似中心的位似图形的坐标变化规律,会利用这个规律求 某些特殊点的坐标． 知识点一　位似图形的概念 １．位似图形的概念 如图,如 果 一 个 图 形 上 的 点 A,B,􀆺,P,􀆺和另一个图形 上的点 A′,B′,􀆺,P′,􀆺分 别对应,并且满足: (１)直线AA′,BB′,􀆺,PP′,􀆺 经过同一点O; (２) OA′ OA ＝ OB′ OB ＝ 􀆺＝ OP′ OP ＝ 􀆺,那么这两个图形叫做 位似图形,点O 是位似中心． 位似中心与位似图形之间常见的位置关系 　　位似中心可能位于两个图形的同侧,也可能位于两 个图形之间,还可能位于两个图形的内部或边上或顶点 上,如图所示． 位似与相似的关系 　　(１)相似仅要求两个 图形的形状完全相同,而 位似 是 在 相 似 的 基 础 上 要求 对 应 顶 点 的 连 线 相 交于一点． 　　(２)如果两个图形是 位似图形,那么这两个图 形一定是相似图形,但是 两个 相 似 的 图 形 不 一 定 是位似图形． 数学　九年级　下册 ８４　 确定位似中心的方法 　　连接位似图形上的两组 对应点,这两组对应点连线所 在直线的交点即为位似中心． １．下列各组图形中的两个三 角 形 均 满 足 △ABC ∽ △DEF,这两个三角形不是 位似图形的是 (　　) 　 A 　 B 　 C 　 D 对应角相等，对应边成比例，周 长的比等于相似比，面积的比等 于相似比的平方等． ２．位似多边形 　　对于两个多边形,如果它们的对应顶点的连线相 交于一点,并且这点与对应顶点所连线段成比例,那 么这两个多边形就是位似多边形． 利用位似图形的概念识别位似图形 【例１】如图所示,指出下列各图中的两个图形是不是位 似图形,如果是位似图形,请指出位似中心． 　 解 位似图形是特殊位置上的相似图形,因此判断两个 图形是否为位似图形,先要看这两个图形是否相似, 若是相似图形,再看每组对应点的连线所在直线是否 都经过同一点,这两个方面缺一不可．(１),(２)和(４) 中的两个图形都是位似图形,位似中心分别是(１)中 的点A,(２)中的点P 和(４)中的点O．(３)和(５)不是 位似图形． 知识点二　 位似图形的性质 １．位似图形具有相似图形的所有性质． ２．位似图形特有的性质 (１)位似图形的对应点的连线相交于一点,即经过位 似中心; (２)位似图形的对应边互相平行(或在同一条直线 上); (３)位似图形的任意一对对应点到位似中心(在不重 合的情况下)的距离的比等于相似比． 第二十七章　相　似 ８５　 利用位似图形的性质进行有关计算 【例２】如图,四边形EFGH 与 四边形ABCD 关于点O 位 似,且 OE＝２AE,则四边形 EFGH 与四边形ABCD 的面 积比为　　　　． 思路分析 先根据位似图形的性 质得到 HE∥DA,进而求出 HE 与DA 的比,再根 据相似多边形的性质解答即可． 解析 因为OE＝２AE,所以OE∶OA＝２∶３． 因为四边形EFGH 与四边形ABCD 关于点O 位似, 所以 HE∥DA,所以△OHE∽△ODA, 所以 HE∶DA＝OE∶OA＝２∶３, 所以四边形EFGH 与四边形ABCD 的面积比为４∶９． 答案４∶９ 利用位似图形的性质解决实际问题 【例３】室外放映的电影胶片上每一个图片的规格是 ３．５cm×３．５cm,放映的屏幕的规格是２m×２m,若 放映机的光源距胶片２０cm,则屏幕在距离光源多远 的地方时,放映的图像刚好布满整个屏幕? 思路分析由四边形 ABCD(胶片)与四边形A′B′C′D′ (屏幕)是位似图形,对应线段的比(即相似比)相等, 列出比例式即可求解． 解 如 图 (示 意 图),四 边 形 ABCD(胶 片 )与 四 边 形 A′B′C′D′(屏幕)是位似图 形,且相似比为３．５ ２００＝ ７ ４００． 设四边形A′B′C′D′距光源O 的距离为xcm, 则有 ２０ x＝ ７ ４００ ,解得x＝ ８０００ ７ ,经检验,x＝ ８０００ ７ 是原 方程的解,８０００ ７ cm＝ ８０ ７ m． 因此屏幕在距离光源 ８０ ７ m 远的地方时,放映的图像 刚好布满整个屏幕． ２．如图,图形甲与图形乙是位 似图形,O 是位似中心,相 似比为 ２ ３ ,点 A,B 的对应 点分别为点A′,B′．若AB＝ ６,则A′B′的长为　　　　． 　　利用位似解决实际问题, 关键是将实际问题转化为数 学问题,把实物图转化为几何 图形,结合位似图形的性质解 决问题． ３．工人师傅要在三角形铝板