27.2.3 相似三角形应用举例-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（人教版)

数学　九年级　下册 ７４　 ２７．２．３　相似三角形应用举例 １．会利用建模思想将实际问题转化为相似三角形问题． ２．能应用相似三角形的性质解决简单的实际问题． 　　(１)利用阳光下的影子测 量物体的高度时要符合下列两 个条件: ①被测物体的底 部 能 够 到达; ②由于影长随着 时 间 的 变化 而 变 化,故 要 在 同 一 地 点、同一时刻测量参照物与被 测物体的影长． 　　(２)太阳光可近似地看作 平行光线． １．已知旗杆高８m,同时测得 旗杆顶端与水平地面上的 影子顶端的距离为１０m,如 果此时附近小树在水平地 面上的影长为３m,那么小 树高　　　　m． 知识点一　利用阳光下的影子测量物体的高度 １．测量原理 如图,因为AC∥A′C′,所以∠ACB＝∠A′C′B′． 又因为∠ABC＝∠A′B′C′＝９０°, 所以△ABC∽△A′B′C′,所以 AB A′B′＝ BC B′C′． ２．测量数据 测量数据有三个,分别是物体的影长BC＝a,观测者 的身高A′B′＝b,观测者的影长B′C′＝c． ３．计算方法 设该物体的高度为h,则h＝ ab c ． 利用阳光下的影子测量物体的高度 【例１】小明在测量楼高时,先测出楼房落在地面上的影 长BA 为１５m(如图①),然后在 A 处竖立一根高 ２m的标杆,测得标杆的影长AC 为３m,则楼高为 (　　) A．１０m　　 　　　　　　B．１２m C．１５m　　 D．２２．５m 第二十七章　相　似 ７５　 图① 　　　　　 图② 解析 如图②,因为太阳光线是平行光线, 所以∠DCA＝∠EAB． 又因为∠DAC＝∠EBA,所以△CDA∽△AEB,所 以 DA EB＝ AC BA ,即 ２ EB＝ ３ １５ ,所以EB＝１０m．故选 A． 答案 A 知识点二　借助标杆测量物体的高度 １．测量原理 如图,因为CD∥AB, 所以△AGF∽△DHF, 所以 AG DH＝ FG FH , 其中EC＝FH,EB＝FG, 所以AB＝AG＋EF． ２．测量数据 测量数据有四个,分别是观测者的眼睛距离地面的高度 EF＝a,标杆的高度CD＝b,标杆底端到物体底端的距 离BC＝c,观测者底端到物体底端的距离EB＝d． ３．计算方法 设物体的高度为h,则h＝ d(b－a) d－c ＋a． 借助标杆测量物体的高度 【例２】如图(示意图),九(１)班课外活 动小组借助标杆测量学校旗杆的高 度,已知标杆高度CD＝３m,标杆与 旗杆的水平距离BD＝１５m,人的 眼睛与地面的高度EF＝１．６m,人 与标杆CD 的水平距离DF＝２m,求旗杆AB 的高度． 　　“借助标杆测量物体的高 度”和“利用阳光下的影子测量 物体的高度”的方法类似,都是 构造相似三角形,但构造相似 三角形的方法不同． 　　 (１)使 用 这 种 方 法 时,观测者的眼睛必须与 标杆的顶端、物体的顶端 “三点共线”,标杆必须与 地面垂直． 　　(２)借助标杆测量物 体的高度时,不要漏加观 测 者 眼 睛 距 离 地 面 的 高度． 数学　九年级　下册 ７６　 ２．(江苏南通中考)如图,利用 标杆 DE 测量楼高,点 A, D,B 在同一直线上,DE⊥ AC,BC⊥AC,垂足分别为 E,C．若 测 得 AE ＝１ m, DE＝１．５m,CE ＝５ m,楼 高BC 是多少? 　　(１)测量时,平面镜的位置 在观测者与被测物体之间,被 测物体与观测者之间不能有障 碍物,且平面镜必须要放平． 　　(２)找相似三角形时,除 了直角,一定要确定好哪两个 角是对应的角;根据相似三角 形的性质列比例式时,一定要 注意边的对应关系． 　　(３)列出的比例式一般要 转化为方程求解,注意相应的 线段的长度单位必须要一致． 解 因为CD⊥FB,AB⊥FB,所以CD∥AB, 所以△CGE∽△AHE,所以 CG AH＝ EG EH , 即 CD－EF AH ＝ FD FD＋BD , 所以 ３－１．６ AH ＝ ２ ２＋１５ ,所以AH＝１１．９m． 所以AB＝AH＋HB＝AH＋EF＝１１．９＋１．６＝１３．５(m)． 所以旗杆AB 的高度为１３．５m． 知识点三　利用平面镜的反射测量物体的高度 １．测量原理 如图,因为∠ACB＝∠ECD,∠B＝∠D＝９０°,所以 △ABC∽△EDC,所以 AB ED＝ BC DC． ２．测量数据 测量数据有三个,分别是观测者的眼睛距离地面的高 度ED＝a,物体底端到平面镜的距离CB＝b,观测者 底端到平面镜的距离CD＝c． ３．计算方法 设物体的高度为h,则h＝ ab c ． 利用平面镜的反射测量物体的高度 【例３】如图(示意图),为了 测量一栋楼的高度 OE, 小明同学先在操场上的A 处放一面镜子,向后退到 B 处,恰好在镜子中看到 楼的顶部E;