27.2.2 相似三角形的性质-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（人教版)

数学　九年级　下册 ６８　 ２７．２．２　相似三角形的性质 了解相似三角形的性质,能灵活运用相似三角形的性质进行有关计算或证明． 相似三角形周长的性质的 推导 若△ABC∽△A１B１C１, 且 相 似 比 为 k,则 AB A１B１ ＝ BC B１C１ ＝ AC A１C１ ＝k,即 AB ＝ kA１B１,BC＝kB１C１,AC＝ kA１C１, 所 以 AB＋BC＋AC A１B１＋B１C１＋A１C１ ＝ k(A１B１＋B１C１＋A１C１) A１B１＋B１C１＋A１C１ ＝k, 即 △ABC 的周长 △A１B１C１ 的周长 ＝k,所 以相似三角形周长的比等于 相似比． 知识点一　相似三角形对应线段(角)的性质 １．相似三角形对应边、对应角的性质 相似三角形 角的性质→对应角相等 边的性质→对应边成比例{ ２．相似三角形对应线段的性质 性质 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分 线的比都等于相似比 图示 数学 语言 △ABC∽△A′B′C′,且 AB A′B′＝k ,若AD 与A′D′,AE 与 A′E′,AF 与A′F′分别是这两个三角形的对应中线、对 应角平分线和对应高,则AD A′D′＝ AE A′E′＝ AF A′F′＝k ３．相似三角形周长的性质 相似三角形周长的比等于相似比． 利用相似三角形对应线段的性质求线段的长 【例 １】 已 知 △ABC ∽ △DEF,AM,DN 分 别 是 △ABC,△DEF 的一条中线,且AM ＝６cm,AB＝ ８cm,DE＝４cm,则DN 的长是 　　　　cm． 思路分析 先根据题意求出两个三角形的相似比,再根 据相似三角形对应中线的比等于相似比计算即可． 第二十七章　相　似 ６９　 解析 因为△ABC∽△DEF, 所以 DN AM ＝ DE AB． 又因为AM＝６cm,AB＝８cm,DE＝４cm, 所以 DN ６ ＝ ４ ８ , 所以DN＝３cm． 答案３ 利用相似三角形周长的性质解决周长问题 【例２】已知△FHB∽△EAD,它们的周长分别为３０ 和１５,若FH＝６,则EA 的长为 (　　) A．３　　　　B．２　　　　C．４　　　　D．５ 思路分析 根据相似三角形周长的比等于相似比进行解 答即可． 解析 因为△FHB 和△EAD 的周长分别为３０和１５, 所以△FHB 和△EAD 的周长的比为２∶１． 因为△FHB∽△EAD, 所以 FH EA ＝２ ,即 ６ EA＝２ ,所以EA＝３． 答案 A 知识点二　相似三角形面积的性质 １．性质:相似三角形面积的比等于相似比的平方． ２．数学语言:若△ABC∽△A′B′C′,且相似比为k,则 S△ABC S△A′B′C′＝k ２． 利用相似三角形面积的性质解决面积问题 【例３】(江苏镇江中考)如图,点D,E 分别在△ABC 的边 AC,AB 上,△ADE∽△ABC,M,N 分别是DE,BC 的中 点,若AM AN＝ １ ２ ,则S△ADE S△ABC ＝　　　　． １．若两个相似三角形的对应 边之比为２∶５,其中一个三 角形的一条角平分线的长 为７,则另一个三角形对应 的角平分线的长为 (　　) A． ３５ ２　　　　B． １４ ５ C． ３５ ２ 或 １４ ５　　D．３５ 　　解决相似三角形的周长 问题一般是根据相似三角形 的性质将周长的比转化为相 似比来求解． ２．已知△ABC∽△DEF,其中 AB＝５,BC ＝６,CA ＝９, DE＝３,那么 △DEF 的周 长是　　　　． 相似多边形的性质 　　相似三角形的性质拓展 到多边形也适用,即相似多边 形周长的比等于相似比,相似 多边形面积的比等于相似比 的平方． 数学　九年级　下册 ７０　 ３．已 知 △ABC∽ △DEF,且 相似 比 为 ２,若 △ABC 的 面积为１６,则△DEF 的面 积为 (　　) A．３２　B．８　C．４　D．１６ ４．已知 △ABC∽ △A１B１C１, △ABC 的面积与△A１B１C１ 的 面 积 的 比 是 １６ ９ ,BE, B１E１ 分别是对应角的平分 线,且BE＝１２,则B１E１＝ 　　　　． 思路分析 先根据相似三角形对应中线的比等于相似比 求出 DE BC 的值,再根据相似三角形面积的比等于相似 比的平方解答即可． 解析 因为 M,N 分别是DE,BC 的中点, 所以AM,AN 分别为△ADE,△ABC 的中线． 因为△ADE∽△ABC, 所以 DE BC＝ AM AN ＝ １ ２ ,所以S△ADE S△ABC ＝ ( DE BC ) ２ ＝ １ ４． 答案 １ ４ 利用相似三角形面积的性质解 决 周 长 (线 段)问题 【例４】若△ABC∽△DEF,且它们面积的比为４∶９,则 △ABC 与△DEF 的周长的比为 (　　) A．２∶３　　B