27.2.1 相似三角形的判定-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（人教版)

数学　九年级　下册 ５０　 ２７．２　相似三角形 ２７．２．１　相似三角形的判定 １．了解相似三角形的概念．能准确找出两个相似三角形的对应边、对应角． ２．掌握平行线分线段成比例的基本事实,会运用基本事实进行相关的证明与 计算． ３．掌握相似三角形的判定定理,能选择合适的方法证明两个三角形相似． 理解相似三角形的概念的 三点注意 　　(１)对应性:在书写两个 三角形相似时,注意对应点的 位置 要 一 致,即 若 △ABC∽ △A′B′C′,则点A 的对应点是 点A′,点B 的对应点是点B′, 点C 的对应点是点C′． 　　(２)顺序性:相似三角形 的 相 似 比 是 有 顺 序 的．若 △ABC 与△A′B′C′相似,则 “△ABC 与△A′B′C′的相似 比”与“△A′B′C′与△ABC 的 相似比”互为倒数． 　　(３)传 递 性:若△ABC∽ △A１B１C１,△A１B１C１∽△A２B２C２, 则△ABC∽△A２B２C２． 知识点一　相似三角形的概念 １．相似三角形 类型 内容 需要满足的条件 ①三个角分别相等; ② 三 条 边 对 应 成 比例 基本图形 符号表示 △ABC 与△A′B′C′相似, 记作:△ABC∽△A′B′C′ ２．相似三角形与全等三角形的比较 名称 形状 大小 对应边 对应角 符号 相似比 全等三 角形 相似三 角形 相同 相等 不一定相等 相等 成比例 相等 ≌ ∽ １ 正数 第二十七章　相　似 ５１　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:全等三角形实际上是相似比为１的相似三角 形,即全等三角形一定是相似三角形,但相似三角形 不一定是全等三角形． 利用相似三角形求角的度数 【例１】已知△ABC∽△DEF,若∠A＝３０°,∠E＝５０°, 则∠F 的度数为 (　　) A．１１０°　　　B．１００°　　　C．９０°　　　D．８０° 思路分析 先利用△ABC∽△DEF,得到对应角相等, 然后根据三角形的内角和定理,求出∠F 的度数． 解析 因为△ABC∽△DEF,所以∠D＝∠A＝３０°, 所以∠F＝１８０°－∠D－∠E＝１００°． 答案 B 利用相似三角形求边长 【例２】如图,△ABO∽ △CDO,若 BO＝６,DO＝３, CD＝２,则AB 的长是 (　　) A．２　　 B．３　　 C．４　　 D．５ 思路分析 利用相似三角形对应边成比例列方程即可求 得答案． 解析 因为△ABO∽△CDO, 所以 BO DO＝ AB CD． 因为BO＝６,DO＝３,CD＝２, 所以 ６ ３＝ AB ２ ,解得AB＝４． 答案 C 知识点二　平行线分线段成比例 １．平行线分线段成比例的基本事实 (１)内容:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线 段成比例． １．如图,若△ABC∽△DEF,则 ∠C 的度数是 (　　) A．７０°　　　　B．６０° C．５０°　　 D．４０° 利用相似三角形求 边长的方法 　　先确定相似三角形的对应 边,然后运用“相似三角形的对 应边成比例”确定待求的边与已 知边的关系,从而求出边长． ２．要制作两个形状相同的三角 形框架,其中一个三角形三 边的长分别为５cm,６cm和 ９cm,另一个三角形的最短边 的长为２．５cm,则它的最长边 的长为 (　　) A．３cm 　　　B．４cm C．４．５cm　　 D．５cm 数学　九年级　下册 ５２　 　　(１)对应线段的比相等是 指同一直线上的两条线段的比 等于另一条直线上与它们对应 的线段的比． 　　(２) AB BC ＝ DE EF 可 简 记 为 “上比下等于上比下”,AB AC ＝ DE DF 可简记为“上比全等于上 比全”,BC AC＝ EF DF 可简记为“下 比全等于下比全”． 　　(１)该推论的内容实际上 就是平行线分线段成比例的 基本事实的特例,一组平行线 中的一条直线经过三角形的 顶 点,一 条 经 过 三 角 形 的 一边． 　　(２)该推论所得到的成比 例线段只涉及三角形中被截 的两边,与第三边无关． 　　 平 行 线 分 线 段 成 比 例的 基 本 事 实 的 特 殊 情 况是 平 行 线 等 分 线 段 定 理．如 图,若l１∥l２∥l３, AB＝BC,则DE＝EF． (２)几何语言:如图,直线l３∥l４∥l５,直 线l１ 与这三条平行线依次相交于点A, B,C,直线l２ 与这三条平行线依次相交 于点D,E,F,则 AB BC＝ DE EF 或 AB AC＝ DE DF 或 BC