26.1.2 反比例函数的图象和性质-【教材解读】2023秋九年级下册初三数学（人教版)

第二十六章　反比例函数 ９　 ２６．１．２　反比例函数的图象和性质 １．会用描点法画出反比例函数的图象． ２．结合反比例函数的图象,掌握反比例函数的性质．理解反比例函数图象的增减 性,并能应用其解决有关问题． ３．掌握反比例函数的比例系数k的几何意义,能应用其意义解决有关面积问题． 知识点一　反比例函数图象的画法 画反比例函数图象的常用方法是描点法．一般步骤如下: 利用描点法画反比例函数的图象 【例１】在同一平面直角坐标系内画出反比例函数y＝ ４ x 和y＝－ ４ x 的图象． 解 列表如下: x －８ －４ －２ －１ － １ ２ １ ２ １ ２ ４ ８ y＝ ４ x － １ ２ －１ －２ －４ －８ ８ ４ ２ １ １ ２ y＝－ ４ x １ ２ １ ２ ４ ８ －８ －４ －２ －１ － １ ２ 描点连线,图象如图所示． 　　(１)列表时,自变量x 的取值可以以原点O 为 中心,在原点O 的两边取 互为相反数的数,则求y 值时,就只需计算出原点 O 一侧的函数值,另一侧 的函 数 值 取 相 应 的 相 反 数即可．这样可以简化计 算,又便于描点． 　　(２)因为反比例函数 的图象有两支,且关于原 点对称,所以只要先在x 轴一 侧 画 出 它 在 一 个 象 限内的分支,再对称地画 出另一个分支即可．注意 图象不经过原点． 数学　九年级　下册 １０　 １．画出反比例函数y＝－ ２ x 的 图象． 　　 反 比 例 函 数 的 图 象 是双 曲 线,当k 为 正 时, 图象 在 第 一、第 三 象 限; 当k 为 负 时,图 象 在 第 二、第 四 象 限．图 象 在 第 一、第 三 象 限 函 数 减,图 象在第二、第四象限正相 反． 　　在描述反比例函数的性 质时,“在每一个象限内”不可 丢掉,因为当k＞０(或k＜０) 时,整个函数并非y 随x 的增 大而减小(或增大),只是在图 象所在的每一个象限内,才是 y 随x 的 增 大 而 减 小 (或 增 大)． 对于反比例函数y＝ k x (k≠ ０),|k|越 大,图 象 离 坐 标 轴 越远． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:(１)列表描点时,要尽可能地多取一些数值,多 描些点,这样便于连线,使画出的图象更精确． (２)连线时,必须用平滑的曲线顺次连接各点,切忌 画成折线,同时注意两个分支是断开的,画出的反比 例函数图象不能与x 轴、y 轴相交． 知识点二　反比例函数的图象和性质 １．图象:反比例函数y＝ k x 的图象由两条曲线组成,它 是双曲线． ２．反比例函数的图象和性质 反比例 函数 y＝ k x (k为常数,k≠０) x,y 的 取值范围 x≠０,y≠０ k的符号 k＞０ k＜０ 图象 图象位置 双曲线的两个分支分 别位于第一、第三象限 双曲线的两个分支分别 位于第二、第四象限 图象特征 (１)图象是关于直线y＝x 和y＝－x 对称的双 曲线;(２)图象是关于原点对称的双曲线;(３)图 象无限接近坐标轴,但不与坐标轴相交 性质 在每一个象限内,y随x 的增大而减小 在每一个象限内,y 随 x 的增大而增大 第二十六章　反比例函数 １１　 ３．正比例函数y＝kx 与反比例函数y＝ k x 的对比 函数 正比例函数 反比例函数 解析式 y＝kx(k≠０) y＝ k x (k≠０) 图象 直线 双曲线 自变量的 取值范围 全体实数 x≠０的一切实数 图象位置 当k＞０时,图象经 过第一、第三象限; 当k＜０时,图象经 过第二、第四象限 当k＞０时,图象在第一、 第三象限;当k＜０时,图 象在第二、第四象限 性质 当k＞０时,y 随x 的增大而增大;当 k＜０时,y随x的 增大而减小 当k＞０时,在每一个象限 内,y 随x 的增大而减小; 当k＜０时,在每一个象限 内,y随x 的增大而增大 利用横、纵坐标之积为定值判断点是否在双 曲线上 【例２】下列各点中,在反比例函数y＝ ８ x 图象上的是 (　　) A．(－１,８)　B．(－２,４)　C．(１,７)　D．(２,４) 思路分析 由于反比例函数y＝ k x 中,k＝xy,因此将各 点的横、纵坐标分别相乘,其积为８者即为正确答案． 解析 由y＝ ８ x ,得xy＝８．A项,因为－１×８＝－８≠８,所以该 点不在反比例函数y＝ ８ x 的图象上,故本选项不符合题 意;B项,因为－２×４＝－８≠８,所以该点不在反比例函数