第二十二章 方法专题 二次函数中的线段、面积最值问题及解法-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（人教版)

第二十二章　二次函数 ９５　 方法专题 一、线段、周长最值问题 １．单独线段的最值问题 平行于坐标轴的线段的最值问题,常常 用线段两端点的坐标差表示线段长对 应的函数解析式,然后运用二次函数 的性质求最值．解决这类问题的关键如 下:①确定线段长对应的函数解析式, 当线段平行于y 轴时,用上端点的纵坐 标减去下端点的纵坐标;当线段平行于 x 轴时,用右端点的横坐标减去左端点 的横坐标;②确定函数的最值,注意函 数自变量的取值范围． 【例１】如图,抛物线y＝x２＋bx＋c过点 A(３,０),B(１,０),交y 轴于点C,P 是 该抛物线上一动点,点P 从点C 沿抛 物线向点A 运动(点P 不与点A,C 重 合),过点P 作PD∥y 轴交直线AC 于点D． (１)求抛物线对应的函数解析式; (２)求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值． 思路分析 知条件　抛物线y＝x２＋bx＋c 过点 A,B,P 是该抛物线上一动 点,PD∥y 轴． 明方法　先表示出PD 的长度,再根据 求二 次 函 数 的 最 值 的 方 法 求解． 解 (１)因为抛物线y＝x２＋bx＋c 过点 A(３,０),B(１,０), 所以 ９＋３b＋c＝０, １＋b＋c＝０,{ 解得 b＝－４, c＝３,{ 所以抛物线对应的函数解析式为y＝ x２－４x＋３． (２)令x＝０,则y＝３, 所以点C 的坐标为(０,３), 所以直线 AC 对应的函数解析式为 y＝－x＋３． 设点P 的坐标为(x,x２－４x＋３)． 因为PD∥y 轴, 所以点D 的坐标为(x,－x＋３), 所以PD＝(－x＋３)－(x２－４x＋３)＝ －x２＋３x＝－ (x－ ３ ２) ２ ＋ ９ ４ , 所以当x＝ ３ ２ 时,线段PD 的长度取得 最大值 ９ ４． ２．线段和、周长的最值问题 常用“将军饮马”模型解决,这类问题一 般是已知两个定点和一条定直线,然后 数学　九年级　上册 ９６　 在定直线上确定一点,使得这个点到两 定点的距离和最小．其变形问题有三角形 周长最小或四边形周长最小等． 解决这类问题的方法是作其中一个定点 关于已知直线的对称点,连接对称点与 另一个定点,它们与已知直线的交点即 为所求的点． 【例２】如图,在平面直角坐标系中,抛物 线y＝ax２＋２x＋c与x轴交于A(－１, ０),B(３,０)两点,与y 轴交于点C,D 是该抛物线的顶点． (１)求抛物线对应的函数解析式和直 线AC 对应的函数解析式; (２)在y 轴上找一点M,使△BDM 的 周长最小,并求出点 M 的坐标． 　 备用图 思路分析 知条件　抛物线y＝ax２＋２x＋c与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交 于点C,D 是该抛物线的顶点． 明方法　作点 B 关于y 轴的对称点 B′,连接DB′,DB′与y 轴的 交点即为M,求出直线 DB′ 对应的函数解析式即可求出 点M 的坐标． 解 (１)由题意可知,抛物线对应的函数解 析式可以转化为y＝a(x＋１)(x－３), 则y＝ax２－２ax－３a＝ax２＋２x＋c, 所以－２a＝２,解得a＝－１, 所以抛物线对应的函数解析式为y＝ －x２＋２x＋３． 当x＝０时,y＝－x２＋２x＋３＝３, 所以点C 的坐标为(０,３)． 设直线AC 对应的函数解析式为y＝ px＋q, 把点A(－１,０),C(０,３)代入,得 －p＋q＝０, q＝３,{ 解得 p＝３, q＝３,{ 所以直线AC 对应的函数解析式为 y＝３x＋３． (２)由(１),得抛物线对应的函数解析式 为y＝－x２＋２x＋３＝－(x－１)２＋４, 所以顶点D 的坐标为(１,４)． 如图,作点B 关于y 轴的对称点B′,连 接DB′,交y轴于点M,则B′(－３,０), 所以 MB＝MB′,所以 MB＋MD ＝ MB′＋MD＝DB′,此时,MB＋MD 的 值最小,而BD 的值不变, 所以△BDM 的周长最小． 由点B′的坐标为(－３,０),点 D 的坐 标为(１,４),易得直线DB′对应的函数 解析式为y＝x＋３． 当x＝０时,y＝x＋３＝３,所以点M 的 坐标为(０,３),即点 M 与点C 重合． ３．二次函数中线段差的最值问题 基本原理是三角形任何两边之差小于 第三边．求解时,先根据原理确定线段 差的最值问题时的图形,再根据已知条 件进行求解． 第二十二章　二次函数 ９７　 【例３】如图,在平面直角坐标系中,A, B,C 分别为坐标轴上的三个点,且 OA＝１,OB＝３,OC＝４． (１)求经过A,B,C 三点的抛物线对应 的函数解析式． (２)在平面直角坐标系中是否存在一 点P,使得以A,B,C,P 为顶点的四 边形是菱形? 若存在,请求出点P 的 坐标;若不存在,请说明理由． (３)已知点 M 为该抛物线上一动点