24.4 弧长和扇形面积-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（人教版)

第二十四章　圆 １９７　 ２４．４　弧长和扇形面积 􀅰了解扇形的概念,理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式,并会求 弧长、扇形的面积． 􀅰了解圆锥的母线的概念,理解圆锥与其侧面展开图的对应关系,并会计算圆锥 的侧面积和全面积． 􀅰能利用拼割法将不规则的图形面积转化为多个规则图形的面积的和或差进行 求解． 知识点一　弧长公式 　　在半径为R 的圆中,n°的圆心角所对的弧长是l＝ nπR １８０． 【例１】如图,AB 为☉O 的直径,点 C 在☉O 上,若 ∠OCA＝５５°,AB＝６,则BC ︵ 的长为 (　　) A． １１ ３π　　　　　　B． １１ ６π C． １１ ４π D．１１π 解析 因为∠OCA＝５５°,OA＝OC, 所以∠OAC＝５５°,所以∠BOC＝２∠OAC＝１１０°． 因为AB＝６,所以BO＝３, 所以BC ︵ 的长为 １１０π×３ １８０ ＝ １１ ６π． 答案 B (１)公式中的n 和１８０表 示的是倍数关系,没有单位． (２)弧长公式l＝ nπR １８０ 中, 对于l,n,R 三个量,可“知二 得一”,n＝ １８０l πR ,R＝ １８０l nπ ． (１)若圆心角的单位 不全是度,一定要把分和 秒全部转化为度,再进行 计算． (２)l表示弧长,它的 单位与半径R 的单位一致． (３)计 算 时,若 题 目 中没有精确度的要求,则 结果保留π． 数学　九年级　上册 １９８　 扇 形 面 积 公 式 (２)的 推导: S扇形＝ nπR２ ３６０＝ １ ２× nπR １８０× R＝ １ ２lR． 类比巧记公式 (１)扇形面积公式中的n 与弧长公式中的n 一样,不带 单位． (２)已知S扇形 ,l,R,n 四 个量中的任意两个,都可以求 出另外两个． 正确记忆弧长公式是计算弧长的前提,准确确定 弧所对的圆心角和弧所在圆的半径是计算弧长的 关键． 知识点二　扇形的面积公式 １．扇形 由组成圆心角的两条半径和圆心角所 对的弧围成的图形叫做扇形． 如图,AB ︵ 与半径OA,OB 围成的图形 是扇形,记作扇形OAB; ?   ACB ︵ 与半 径 OA,OB 围 成 的 图 形 也 是 扇 形,记 作 扇形OACB． ２． 扇形的面积公式 (１)S扇形＝ nπR２ ３６０ ,其中扇形的圆心角 为n°,半径为R． (２)S扇形 ＝ １ ２lR ,其中扇形的弧长为 l,半径为R． ì î í ï ï ï ïï ï ï ï ï 【例２】(１)已知扇形的半径为３,圆心角为２００°,则它的 面积是 (　　) A． ３ ２π　　　　B．３π　　　　C．５π　　　　D．１０π (２)若一个半径为５的扇形的弧长为 ５π ３ ,则该扇形的 面积为　　　　． 解析 (１)扇形面积为 ２００π×３２ ３６０ ＝５π． (２)S扇形 ＝ １ ２lR＝ １ ２× ５π ３×５＝ ２５ ６π． 答案 (１)C　(２) ２５ ６π 第二十四章　圆 １９９　 根据条件,灵活选择公式计算扇形面积 (１)当已知半径R 和圆心角的度数n°求扇形的 面积时,选用公式S扇形 ＝ nπR２ ３６０ ． (２)当已知半径R 和弧长l求扇形的面积时,选 用公式S扇形 ＝ １ ２lR． 知识点三　圆锥的概念及圆锥的侧面积和全面积 １．圆锥及其相关概念 圆锥及 其相关 概念 圆锥 由一个底面和一个侧面 围成的几何体 母线 连接圆锥顶点和底面圆 周上任意一点的线段 高 连接圆锥的顶点与底面 圆的圆心的线段 侧面 展开 图 沿着圆锥的一条母线,把 圆锥的侧面剪开并展平, 得到一个扇形,这个扇形 的弧长等于圆锥的底面圆 的周长,扇形的半径等于 圆锥的母线长 ２．圆锥的侧面积和全面积 圆锥的 侧面积 设圆锥的母线长为l,底面圆的半 径为r,那么圆锥侧面展开图(扇 形)的半径为l,圆锥的侧面展开 图(扇形)的弧长为２πr,因此,圆锥 的侧面积S侧＝ １ ２×２πr 􀅰l＝πrl 圆锥的 全面积 圆锥的侧面积与底面积之和称为圆 锥的全面积,所以S全 ＝S侧 ＋S底 ＝ πrl＋πr２＝πr(l＋r) 由弦和它所对的弧(包括 劣弧、优弧、半圆)组成的图形 是弓形．弓形的面积可以转化 为扇 形 与 三 角 形 面 积 的 和 或差． (１)圆 锥 的 母 线 有 无 数 条,且圆锥的母线长都相等． (２)如图,圆锥的母线长 l、高h、底面圆的半径r 组成 一个 直 角 三 角 形,满 足h２ ＋ r２＝l２．已知h,r,l 中任意两 个量,都可以求出第三个量． (３)圆锥的侧面展开图是 扇形,故圆锥的侧面积既可以 用公 式 S侧 ＝πrl 求 解,也 可 以用公式S侧 ＝ １ ２lR 求解．特 别注意两个公式中的l 的意