24.2.2 直线和圆的位置关系-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（人教版)

数学　九年级　上册 １６８　 ２４．２．２　直线和圆的位置关系 􀅰掌握直线和圆的三种位置关系的特点及其判定方法． 􀅰了解割线、切线的概念,掌握切线的判定定理与性质定理,并能灵活应用． 􀅰了解切线长的概念,能证明切线长定理,并会应用定理解决问题． 􀅰了解三角形的内切圆、内心等概念． (１)“只 有 一 个 公 共 点”不 要 理 解 成“有 一 个 公共点”;其意义是“有且 只有 一 个 公 共 点”或“有 唯一公共点”． (２)只有当直线是圆 的切线时,直线与圆的公 共点才能被称为切点． (３)“d”的意义不同: 在点和圆的位置关系中, d 是点到圆心的距离;在 直线和圆的位置关系中, d 是圆心到直线的距离． 知识点一　直线和圆的位置关系 直线和圆的 位置关系 相交 相切 相离 定义 直线和圆有两 个公共点,这 时这条直线和 圆相交 直线和圆只有 一个公 共 点, 这时这条直线 和圆相切 直线和圆没 有 公 共 点, 这时这条直 线和圆相离 图形 公共点个数 ２ １ ０ 圆心到直线的 距离d 与半径 r的关系 d＜r d＝r d＞r 公共点名称 交点 切点 ——— 直线名称 割线 切线 ——— 总结 直线l 与☉O 相交⇔d＜r 直线l 与☉O 相切⇔d＝r 直 线 l 与 ☉O 相离⇔ d＞r 第二十四章　圆 １６９　 【例１】在△ABC 中,∠ACB＝９０°,CA＝３,CB＝４．以 点C 为圆心,r为半径作☉C,当r取下列不同值时, AB 所在直线与☉C 分别有怎样的位置关系? 为什么? (１)r＝２;　(２)r＝２．４;　(３)r＝３． 解 因为在△ABC 中,∠ACB＝９０°,CA＝３,CB＝４, 所以AB＝ ３２＋４２ ＝５．    设AB 边上的高为h,则h􀅰AB＝AC􀅰BC, 所以h＝ ３×４ ５ ＝２．４． hCAB   (１)当r＝２时,h＞r,所以AB 所在直线与☉C 相离． (２)当r＝２．４时,h＝r,所以AB 所在直线与☉C 相切． (３)当r＝３时,h＜r,所以AB 所在直线与☉C 相交． 　　　　判定直线和圆的位置关系有两种方法 (１)根据圆心到直线的距离d 与半径r的大小关 系来判断; (２)根据直线与圆的公共点的个数来判断． 知识点二　圆的切线的判定定理 １．文字语言:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线． ２．符号语言:如图,OA 是☉O 的半径,因为l⊥ OA,垂足为A,所以直线l是☉O 的切线． 【例２】如图,点O 为∠BAC 的平分线上的一点,OD⊥ AB 于点D,以点O 为圆心,OD 的长为半径作☉O． 求证:AC 与☉O 相切．      证明 如图,过点O 作OE⊥AC,垂足为E． 一条直线只有 同 时 满 足 定理中的两个条件“经过半径 的外 端”“垂 直 于 这 条 半 径” 时,才是圆的切线,千万不能 只凭一个条件就判定一条直 线是圆 的 切 线．如 图 所 示,直 线l,l′都不是圆的切线． 　　下雨天快速转动雨伞,雨 滴沿切线方向飞出． 数学　九年级　上册 １７０　 切线的三种判定方法 (１)利 用 位 置 关 系: 和圆 只 有 一 个 公 共 点 的 直线是圆的切线; (２)利 用 数 量 关 系: 若圆 心 到 某 条 直 线 的 距 离等于半径,则这条直线 是圆的切线; (３)利用切线的判定 定理:经过半径的外端并 且垂 直 于 这 条 半 径 的 直 线是圆的切线． 圆的切线的画法 　　已知☉O 和☉O 上的一 点A,求 作 过 点 A 的 ☉O 的 切线． 作法:如图所示． (１)连接OA; (２)过 点 A 作 直 线l 与 OA 垂直,则直线l 就是 ☉O 的切线． 因为点O 为∠BAC 的平分线上的一点,OD⊥AB, 所以OE＝OD,即点E 在☉O 上, OE所以AC 与☉O 相切． 【例３】如图①,已知AB 是☉O 的直径,C 为☉O 上一 点,∠OCB 的平分线交☉O 于点D,F 在直线AB 上,且DF⊥BC,垂足为E,连接AD,BD．求证:DF 是☉O 的切线． 图① 　 图② 证明 如图②,连接OD．    因为OC＝OD,所以∠ODC＝∠OCD． 因为CD 平分∠OCB,所以∠OCD＝∠BCD, 所以∠ODC＝∠BCD,所以OD∥CE, 所以∠ODE＝∠CEF． 因为CE⊥DF,所以∠CEF＝９０°, 所以∠ODE＝９０°,即OD⊥DF．  又因为OD 是☉O 的半径, 所以DF 是☉O 的切线． 证明切线看条件,方法合适更简捷 (１)有公共点:当直线和圆有一个公