24.2.1 点和圆的位置关系-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（人教版)

第二十四章　圆 １５７　 ２４．２　点和圆、直线和圆的位置关系 ２４．２．１　点和圆的位置关系 􀅰了解点和圆的位置关系及图形特征;理解点和圆的位置关系是由点到圆心的 距离决定的,并能据此判断点和圆的位置关系． 􀅰了解“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”以及过不在同一条直线上的三 点作圆的方法,了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念． 􀅰了解反证法的意义,会用反证法进行简单的证明． 知识点一　点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离d 与半径r的关系 图形 推理过程 点在圆内 d＜r 点P 在圆内 ⇔d＜r 点在圆上 d＝r 点P 在圆上 ⇔d＝r 点在圆外 d＞r 点P 在圆外 ⇔d＞r 【例１】如图,已知△ABC 中,∠C＝９０°, AC＝３,BC＝４,以点C 为圆心作☉C, 半径为r． (１)当r取什么值时,点A,B 在☉C 外? (２)当r取什么值时,点A 在☉C 内,点B 在☉C 外? (１)符 号 “⇔”读 作 “等价于”,它表示从符号 “⇔”的 左 端 可 以 推 出 右 端,从符号 “⇔”的右端可 以推出左端． (２)在不确定点的位 置时,要分三种情况进行 讨论:即 点 在 圆 上、点 在 圆内、点在圆外． 数学　九年级　上册 １５８　 由圆的概念“到定点的距 离等于定长的所有点的集合” 可得,在圆内部的点可以看成 是到定点的距离小于定长的 点的集合;在圆外部的点可以 看成是到定点的距离大于定 长的点的集合． (１)过 一 点 作 圆,圆 心、半径不确定; (２)过两点作圆,圆心 在连接两点线段的垂直平 分线上,半径不确定; (３)过不共线的三点 作圆,圆心、半径确定,可 作唯一圆． 经过 同 一 条 直 线 上 的三点不能作圆． 不在同一条直线上的 三个点确定一个圆． 过一点、两点圆无数, 过共线三点不见圆; 过三点能定唯一圆, 必备三点不共线． 解 (１)若点A,B 在☉C 外,则AC＞r． 因为AC＝３, ACAC  所以０＜r＜３． (２)若点A 在☉C 内,点B 在☉C 外,则AC＜r＜BC． 因为AC＝３,BC＝４,所以３＜r＜４． 　　已知点到圆心的距离d 与半径r 之间的数量关 系,可以判断点和圆的位置关系;反过来,由点和圆的 位置关系也可以确定d 与r的数量关系． 知识点二　圆的确定 条件 依据及作法 图示 结论 过一点 作圆 经过一个点A 作圆,只要以点 A 以外的任意一点为圆心,这 一点与点 A 的距离为半径作 圆就可以作出符合要求的圆, 这样的圆有无数个 过两点 作圆 经过两个点 A,B 作圆,只要 以与点A,B 距离相等的点为 圆心,即以线段AB 的垂直平 分线上任意一点为圆心,这一 点与点A 或点B 的距离为半 径作圆就可以作出符合要求的 圆,这样的圆有无数个 过不在 同一条 直线上 的三点 作圆 经过不在同一条直线上的三点 A,B,C 作圆,圆心到这三点的 距离相等,因此,圆心在线段 AB,BC 的垂直平分线的交点O 处,以OA(或OB,OC)为半径可 作出经过A,B,C 三点的圆,这 样的圆有且只有一个 不在 同一 条直 线上 的三 个点 确定 一个 圆 第二十四章　圆 １５９　 【例２】一块破损的圆形模板如图①所示,木工师傅想要 把它复原,需要知道它的圆心,请你用所学的知识帮 助木工师傅找出该模板的圆心． 图① 　　　 图② 解 如图②,在弧上任取三点A,B,C,连接AB,AC, 分别作AB,AC 的垂直平分线l１,l２,两直线相交于 点O,则点O 就是该圆形模板的圆心． 　　破“镜”重圆问题———确定圆心的方法 　　对于已知圆上的某段弧,作出全部圆的问题,实质 上属于确定圆心的问题．解决此类问题的方法是在圆 弧上任意找三点,形成两条线段,则这两条线段垂直平 分线的交点就是圆心,圆心到圆弧上任意点的距离就 是半径．圆心和半径确定了,圆就可以轻松画出来了． 知识点三　三角形的外接圆 １．三角形外接圆的有关概念 (１)三角形的外接圆:经过三角形的三个顶点的圆叫 做三角形的外接圆．如图,☉O 是△ABC 的外接圆． (２)三角形的外心:三角形的外接圆的圆心． ２．三角形外心的性质 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等,等于其 外接圆的半径． 【例３】如图,已知等腰三角形ABC． (１)用直尺和圆规作△ABC 的外接圆; (２)设△ABC 的外接圆的圆心为O,若∠BOC＝１２８°, 要想过四点作圆,应先作 出经过不在同一条直线上的 三点的圆,若第四个点到圆心 的距离等于半径,则第四个点 在圆上,否则不在圆上． 如图所示,点 D１ 到 圆 心 的距离等于半径,则点 D１在 圆上;点D２,D３到圆心的距离 不等于半径,则点D２,D３不在 圆上． (１