24.1 圆的有关性质-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（人教版)

１４０　 第二十四章　圆 ２４．１　圆的有关性质 􀅰理解圆、弧、等圆、等弧等有关概念,理解各个概念之间的区别和联系． 􀅰理解圆的对称性,掌握垂径定理及其推论,并会运用其解决有关具体问题． 􀅰理解圆心角的概念,掌握在同圆或等圆中,圆心角、弦、弧之间的关系并能运用 相关知识解决简单问题． 􀅰理解圆周角的概念,探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系,了解并证明圆周 角定理及其推论． 􀅰理解圆内接多边形的有关概念,了解圆内接四边形的性质． 圆是生活中常见的图形, 许多物体都给我们以圆的形象． 知识点一　圆的定义 １．圆的定义 (１)描述性定义:如图,在一个平面内,线段OA 绕它 固定的一个端点O 旋转一周,另一个端点A 所形成 的图形叫做圆．其固定的端点O 叫做圆心,线段OA 叫做半径． (２)集合性定义:圆可看成是平面上所有到定点的距 离等于定长的点的集合． ２．圆的表示:以点O 为圆心的圆,记作☉O,读作“圆O”． ３．圆的特性:(１)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等 于定长(半径r); 第二十四章　圆 １４１　 (２)平面上,到定点的距离等于定长的点都在同一个 圆上． 【例１】根据下列条件能够确定一个圆的是 (　　) A．以点P 为圆心　　　　　　　 B．以３cm 为半径 C．以点P 为圆心,３cm 为半径 D．以３cm 为半径且过点A 解析 根据圆的定义,知只有确定了圆心和半径才能 确定一个圆,四个选项中只有选项 C 确定了圆心和 半径,故选C． 答案 C 确定圆的标准 根据圆的定义,确定圆的条件有两个: 圆心→确定圆的位置, 半径→确定圆的大小,{ 两者缺一不可． 知识点二　圆的相关概念 名称 内容 图示 弦 连接圆上任意两点的线段,如右图中“弦AC” 直径 经过圆心的弦,如右图中“直径AB” 弧、半 圆、优 弧、劣 弧 弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧 半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分 成两条弧,每一条弧都叫做半圆 优弧:大于半圆的弧,用三个点表示,如右图 中“ADC︵” 劣弧:小于半圆的弧,用两个点表示,如右图中 “AD︵”“BC︵” 等圆 能够重合的两个圆 等弧 在同圆或等圆中,能够互相重合的弧 (１)根 据 圆 的 定 义, “圆”指的是“圆周”,是一 条 封 闭 的 曲 线,而 不 是 “圆面”． (２)在 同 一 圆 中,任 选圆上两点和圆心(三点 不共线)构成的三角形是 等腰三角形． (１)半圆既不是优弧,也 不是劣弧． (２)等圆可以理解成半径 相等的圆,只与半径的大小有 关,与圆的位置无关． (３)等弧只有在同圆或等 圆中才存在．在大小不等的两 个圆中不存在等弧,所以判断 两条弧是不是等弧时,要先判 断这两条弧是不是在同圆或 等圆中． 数学　九年级　上册 １４２　 等弧的长度一定相等,但 只有在同圆或等圆中,长度相 等的两条弧才是等弧． “垂直于弦的直径”的常见情况 　　 　　 
  􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:(１)弦和直径的关系:圆中过圆心的弦就是直 径,直径是圆中最长的弦,但弦不一定是直径． (２)弦和弧的关系:弦是连接圆上任意两点之间的 线段,弧是圆上任意两点之间的部分,是曲线,每条 弧对应一条弦,而每条弦对应的弧有两条． 【例２】有下列说法:①直径是弦;②弦是直径;③半圆是 弧,弧不一定是半圆;④直径是圆中最长的弦．其中正 确的是 (　　) A．①②④　　B．①③④　　C．②③④　　D．①②③ 解析 ①直径是弦,正确．②弦是直径,错误．只有过圆 心的弦才是直径,故弦不一定是直径．③半圆是弧,弧 不一定是半圆,正确．④直径是圆中最长的弦,正确． 故选B． 答案 B 知识点三　垂直于弦的直径 
  １．圆的对称性 圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的 对称轴．   ２．垂径定理及其推论 名称 文字语言 符号语言 图示 垂径 定理 垂直于弦的直 径平分弦,并 且平分弦所对 的两条弧 CD 是直径 CD⊥AB }⇒ AM＝BM AC︵＝BC︵ AD︵＝BD︵ ì î í ï ï ï ï 垂径 定理 的推 论 平分弦(不是 直径)的直径 垂直于弦,并 且平分弦所对 的两条弧 CD 是直径 AM＝BM (AB 不是直径) ü þ ý ï ï ïï ⇒ CD⊥AB AC︵＝BC︵ AD