23.1 图形的旋转-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（人教版)

１０６　 第二十三章　旋　转 ２３．１　图形的旋转 􀅰了解图形旋转的概念． 􀅰理解图形旋转的性质,并能运用其解决简单的旋转问题． 􀅰会按要求作出旋转后的图形,能运用图形的旋转进行简单的图案设计．了解旋 转角和旋转中心的改变可以得到不同效果的美丽图案,体验旋转在现实生活 中的应用． 􀅰会利用图形的旋转变换解决有关的几何问题． (１)此处旋转是指平 面内的变换,因此,“平面 内”这一条件不可忽略． (２)旋转中心可以是 图形外的一点,也可以是 图形上的一点,还可以是 图形内的一点． (３)旋转角一般小于 ３６０°． 确定旋转中心、旋转角、对 应线段以及对应角的方法 (１)确定旋转中心:在旋 转过程中不动的点; (２)确定旋转角:各组对 应点与旋转中心所连线段的 夹角; 知识点一　旋转的相关概念  １．图形的旋转:把一个平面图形绕着平面内某一点O 转 动一个角度,叫做图形的旋转． ２．图形旋转的三要素 三要素 概念 图形举例 旋转中心 在旋转过程中不动的点,如右图 中的点O 旋转角 转动的角,如右图中的∠POP′ 旋转方向 顺时针或逆时针,如右图中指针 的旋转方向为顺时针 ３．旋转变换中的对应元素 图形举例 对应元素 如图,△A′OB′是 △AOB 绕点O 按 顺时针方向旋转一 定的角度所得到的, 点O 是旋转中心 对应点 对应线段 对应角 点 A,B 的对应点 分别是点 A′,B′ 线段OA, OB,AB 的 对应线段 分别是线 段OA′, OB′,A′B′ ∠AOB,∠OAB, ∠OBA 的 对 应角分别是 ∠A′OB′, ∠OA′B′, ∠OB′A′ 第二十三章　旋　转 １０７　 【例１】如图,△ABC 是等边三角形,D 是BC 边上一 点,△ABD 经过旋转到达△ACE 的位置． (１)请指出旋转中心． (２)旋转了多少度? (３)指出线段AE 的对应线段． (４)指出∠B 和∠BAD 的对应角． 解 (１)由图形在旋转过程中“不动”的点是旋转中心, 得点A 是旋转中心． (２)因为点B 与点C 是对应点,∠BAC＝６０°,所以旋 转了６０°． (３)因为点D 与点E 是对应点,所以线段AE 的对应 线段是AD． (４)因为点B 与点C 是对应点,点D 与点E 是对应 点,所以∠B 的对应角是∠ACE,∠BAD 的对应角 是∠CAE． 知识点二　旋转的性质 １．旋转的性质 文字语言叙述 几何语言表示 示意图 对应点到旋转 中 心 的 距 离 相等 OA ＝ OA′,OB ＝ OB′,OC＝OC′,OP＝ OP′ 对应点与旋转 中心所连线段 的夹角等于旋 转角 ∠A′OA＝∠B′OB＝ ∠C′OC＝∠P′OP 旋转前、后的 图形全等 △ABC≌△A′B′C′ 　　(３)确定对应线段以及对 应角:找出旋转前后能重合的 点(对应点),即可找到对应线段 和对应角． 旋转概念有实例, 结合图形来记忆; 图形旋转三要素: 中心、方向和角度． 应用旋转的性质时,重点 掌握以下六种基本图形． 数学　九年级　上册 １０８　 (１)经 过 旋 转,图 形 中每 一 个 点 都 绕 旋 转 中 心沿 相 同 的 方 向 旋 转 了 相同的角度;任意一组对 应点 与 旋 转 中 心 的 连 线 所成的角都是旋转角,它 们的大小相等． (２)图形的旋转与图 形的 平 移 类 似,旋 转 前、 后的 图 形 的 位 置 发 生 改 变,但 图 形 的 形 状、大 小 都不 变．也 就 是 说,旋 转 前、后的两个图形全等,因 而它们的对应边相等,对应 角相等． (３)旋转中心是各组 对应 点 所 连 线 段 的 垂 直 平分线的交点． ２．平移、轴对称、旋转的异同 项目 平移 轴对称 旋转 不同点 平移变换前、后, 两个图形的对应 线段平行(或在 同一条直线上), 对应角的两边分 别平行(或在同 一条直线上),且 开口方向一致 若成轴对称的两 个图形的对应线 段或其延长线相 交,则交点在对 称轴上;成轴对 称的 两 个 图 形 的 对 应 点 所 连 线 段 被 对 称 轴 垂直平分 旋 转 变 换 前、后,两个 图形的任意 一组对应点 与旋转中心 所连线段的 夹角都是旋 转角 相同点 (１)都是在平面内进行的图形变换; (２)都是只改变图形的位置,不改变图形的形状和 大小,即变换前、后图形的对应边相等,对应角相 等,两图形全等; (３)已知图形经过变换后都能得到另一个与自身 全等的图形 【例２】如图,在 △ABC 中,∠CAB＝ ７５°．在同一平面内,将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转到△AB′C′的位 置,使得CC′∥AB,求∠BAB′的度数． 解 因为△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转到△AB′C′ 的位置, 所以AC＝