22.3 实际问题与二次函数-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（人教版)

数学　九年级　上册 ８６　 ２２．３　实际问题与二次函数 􀅰理解“问题情境———建立模型———求解验证”的过程,感受函数模型思想和数 学的应用价值． 􀅰能分析和表示不同实际背景下变量之间的二次函数关系,并解决与二次函数 有关的问题,提高发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力,增强应用 意识和创新意识． 利用二次函数模型解决 实际问题的常见类型 (１)求最大(小)值(如 求最大利润、最大面积、最 优方案、最小周长等); (２)抛 (投)物 体、拱 桥等抛物线形问题． 生活中,常会遇到与二次 函数及其图象有关的问题,例 如,跳水、隧道、拱桥、利润问 题,都与二次函数及其图象息 息相关．解 决 这 些 问 题 时,首 先将实际问题中的变量关系 转化成二次函数关系,然后利 用二次函数的图象和性质加 以解决,其中的关键是从实际 问题中抽象出数学模型． 知识点　二次函数的实际应用 １．用二次函数解决实际问题的基本思路 运用二次函数解决实际问题,实际上是利用问题中的 数量关系构造出y＝ax２＋bx＋c,y＝a(x－h)２＋k 或y＝a(x－x１)(x－x２)(a≠０)等二次函数模型,再        
   利用二次函数的图象和性质解决问题． ２．利用二次函数解决实际问题的一般步骤 阅读并理解题意,分析问题中的 变量与常量以及它们之间的关系 　　　　↓ 设适当的未知数,用含未知数的代数式表示出变量之间的关系 　　　　↓ 建立二次函数模型,写出二次函数的解析式 　　　　↓ 根据题目中的要求,借助二次函数求解 　　　　↓ 检验结果的合理性,必要时进行合理取舍,确定答案 【例】如图,从喷水池喷头喷出的水珠, 在空中形成一条抛物线,在抛物线 各个位置上,水珠的竖直高度y(单 位:m)关于它距离喷头的水平距离 x(单位:m)的函数解析式是y＝－２x２＋４x＋１,则水 第二十二章　二次函数 ８７　 珠能达到的最大高度是　　　　m． 解析 因为y＝－２x２＋４x＋１＝－２(x－１)２＋３,所以 当x＝１时,y 取得最大值,最大值为３,所以水珠能 达到的最大高度是３m． 答案３ 常考题型解读 题型一　利用二次函数解决与几何图形有关的问题 【例１】如图,某小区有一块靠墙(墙的长度不限)的矩形 空地ABCD．为美化环境,用总长为９０m 的篱笆将这 块空地分割成四块矩形花坛,其中S１＝S２＝S３＝ １ ２S４ (靠墙一侧不用篱笆,其余边均围有篱笆,篱笆的 厚度不计,且篱笆无剩余)． (１)若AE＝a m,用含有a 的式子表示BE 的长,并 直接写出a 的取值范围; (２)求矩形ABCD 的面积y(单位:m２)关于a 的函数 解析式,并求出面积的最大值． 思路分析 (１)根据面积之间的关系得到线段之间的关 系,设未知数,代入并整理即可;(２)利用矩形的面积 公式得到y 关于a 的函数解析式,再根据函数的性质 求函数最值． 解 (１)因为S２＝S３＝ １ ２S４ , 所以 MF＝２EG＝２GM． 设EG＝b,则EF＝４b． 因为S２＝S１, １．如 图,某 小 区 有 一 块 长 为 (２a＋b)m,宽为(２a－b)m 的矩形地块,角上有４个边 长为(a－b)m 的小正方形 空地,开发商计划将阴影部 分绿 化,绿 化 的 总 面 积 为 S m２,其中a＞b． (１)用含有a 和b的式子表 示S:　　　　．(结果用最 简形式表示) (２)若a＋b＝２０且３３b－a＝ １,求S 的值． 数学　九年级　上册 ８８　 (３)若a＋b＝２０,则当a,b 分别 为 何 值 时,S 有 最 大 值,并求出S 的最大值． ２．(四川雅安中考)某药店选 购了 一 批 消 毒 液,进 价 为 １０元/瓶．在销售过程 中 发 现,每天销售量y(单位:瓶) 与每瓶售价x(单位:元)之 间存 在 一 次 函 数 关 系 (其 中,１０≤x≤２１,且x 为整 数)．当每瓶消毒液售价为 １２元时,每天销售量为９０瓶; 当每瓶消毒液售价为１５元 所以BE􀅰b＝a􀅰４b, 所以BE＝４a(０＜a＜５)． (２)由(１),知AB＋GH＋MN＋CD＝５a＋４a＋４a＋ ５a＝１８a, 所以BC＝ ９０－１８a ２ ＝４５－９a , 所以y＝５a(４５－９a)＝－４５a２＋２２５a＝－４５(a－ ５ ２) ２ ＋ １１２５ ４ ． 因为－４５＜０, 所以当a＝ ５ ２ 时,y 取得最大值,最大值为 １１２５ ４ ,即矩 形ABCD 面积的最大值为 １１２５ ４ m ２． "> 几何图形中求最值,常用的建立函数关系的方法 几何图形中的最值问题,一般是利用二次函数的 最值求解,根据几何图形建立二次函数关系是解题的 关键． 一般在