22.2 二次函数与一元二次方程-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（人教版)

数学　九年级　上册 ７８　 ２２．２　二次函数与一元二次方程 􀅰理解一元二次方程根的几何意义(抛物线与x 轴的公共点的横坐标),掌握二 次函数与一元二次方程的关系． 􀅰知道抛物线与x 轴的三种位置关系对应着一元二次方程根的三种情况,能根 据二次函数y＝ax２＋bx＋c的图象与x轴交点的个数判断一元二次方程ax２＋ bx＋c＝０根的情况．会灵活运用一元二次方程根的判别式处理二次函数图象 与x 轴的交点问题． 􀅰能利用二次函数y＝ax２＋bx＋c的图象求一元二次方程的近似解,通过利用 图象求一元二次方程近似解的过程,体会数形结合的思想． 知识点一　二次函数与一元二次方程之间的关系 １．二次函数与一元二次方程之间的转化 如果抛物线y＝ax２＋bx＋c与x 轴有公共点,公共 点的横坐标是x０,那么当x＝x０时,函数值是０,因此 x＝x０是方程ax２＋bx＋c＝０的一个根．  
   ２．抛物线与x 轴的位置关系与一元二次方程根的情况 判别式 Δ＝b２－ ４ac 二次函数y＝ax２＋bx＋c 一元二次方程 ax２＋bx＋c＝０ 图象 与x 轴的交点情况 根的情况 Δ＞０ a＞０ a＜０ 二次函数y＝ax２＋ bx＋c 的 图 象 与x 轴 交 于 (x１,０), (x２,０)(x１ ＜x２)两 点, 且 x１,２ ＝ －b± b２－４ac ２a ,此 时函数图象与 x 轴 有两个交点 一 元 二 次 方 程 ax２＋bx＋c＝０ 有两个不相等的 实 数 根 x１,２ ＝ －b± b２－４ac ２a 第二十二章　二次函数 ７９　 续表 判别式 Δ＝b２－ ４ac 二次函数y＝ax２＋bx＋c 一元二次方程 ax２＋bx＋c＝０ 图象 与x 轴的交点情况 根的情况 Δ＝０ a＞０ a＜０ 二次函数y＝ax２ ＋ bx＋c的图象与x 轴 交于 点 ( － b２a,０) , 此时函数图象与x 轴 有且只有一个交点 一 元 二 次 方 程 ax２＋bx＋c＝０ 有两个相等的实 数 根 x１ ＝x２ ＝ － b ２a Δ＜０ a＞０ a＜０ 二次函数y＝ax２＋ bx＋c 的 图 象 与x 轴无交点 一 元 二 次 方 程 ax２ ＋ bx＋c＝０ 在实数范围内无 解 (或 称 无 实 数根) 【例１】画出二次函数y＝x２－３x－４的图象,并根据图 象回答下列问题: (１)图象与x 轴的交点坐标是什么? (２)当x 取何值时,y＝０? 这里x 的取值与方程x２－ ３x－４＝０有何关系? (３)你能从中得到什么启示? 解 二次函数y＝x２－３x－４的图象 如图所示． (１)图象与x 轴的交点坐标是(－１, ０),(４,０)． (２)当x＝－１或x＝４时,y＝０,这 里x 的取值是方程x２－３x－４＝０ 的两个根． (３)二次函数y＝x２－３x－４的图象与x 轴的交点的 横坐标是一元二次方程x２－３x－４＝０的两个根;一 元二次方程x２－３x－４＝０的两个根就是二次函数 y＝x２－３x－４的图象与x 轴的交点的横坐标． (１)一元二次方 程ax２ ＋bx＋c＝０的 根 的 情 况 和 二 次 函 数y＝ ax２＋bx＋c 的图象与x 轴的 交 点 的 情 况 密 切 相 关,即 抛 物 线y＝ax２ ＋ bx＋c 与x 轴 没 有 公 共 点⇔一元二次方程ax２＋ bx＋c＝０没有实数根;抛 物线y＝ax２＋bx＋c 与 x 轴有一个公共点⇔一元 二次方程ax２＋bx＋c＝０ 有两个相等的实数根;抛 物线y＝ax２＋bx＋c 与 x 轴有两个公共点⇔一元 二次方程ax２＋bx＋c＝ ０有 两 个 不 相 等 的 实 数 根．其 中 Δ＝b２ －４ac 起 着重要的作用． (２)解一元二次方程 ax２＋bx＋c＝０ 的 实 质 就是 求 当 二 次 函 数y＝ ax２＋bx＋c 的函数值为 ０时的自变量x 的取值, 反映 在 图 象 上 就 是 求 二 次函数的图 象 与x 轴 交 点的横坐标． 数学　九年级　上册 ８０　 利用二次函数图象求一元 二次方程根的近似值的步骤 步骤１: 􀪍􀪍􀪍 画出函数y＝ax２＋ bx＋c(a≠０)的图象． 步骤２: 􀪍􀪍􀪍􀪍 确定抛物线与x 轴交点的个数,看交点的 横坐标在哪两个数之间． 步骤３: 􀪍􀪍􀪍􀪍 列表,根据题目 实际情况在两个数之间 合理 取 值,并 用 计 算 器 算出每个x 值所对应的 函数值y,近似根在对应 y 值正负交换的地方． 步骤４: 􀪍􀪍􀪍􀪍 根据精度要求写 出方程根的近似值． 二次函数与一元二 次不等式的关系 抛 物 线 y＝ax２ ＋bx＋ c在x 轴上方 的 部 分 的 点 的 纵坐标都是正数,所对应的x 的所