21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（人教版)

第二十一章　一元二次方程 ２５　 ∗２１．２．４　一元二次方程的根与系数的关系 􀅰理解一元二次方程的根与系数的关系,并能用其解决有关问题． 􀅰能综合应用一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系求字母参数的值等 问题． 知识点　一元二次方程的根与系数的关系 方程ax２＋bx＋c＝０(a≠０)的根与系数的关系 数学语言 设ax２＋bx＋c＝０(a≠０)的两个根为x１,x２,则 x１＋x２＝－ b a ,x１x２＝ c a 文字语言 一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次 项系数的比的相反数,两个根的积等于常数项与二 次项系数的比 使用条件 (１)方程是一元二次方程,即二次项系数a≠０; (２)方程有实数根,即Δ≥０ 重要推论 设一元二次方程x２＋px＋q＝０的两个根为x１,x２, 则x１＋x２＝－p,x１x２＝q 常见变形 (１) １ x１＋ １ x２＝ x１＋x２ x１x２ ; (２)x２１＋x２２＝(x１＋x２)２－２x１x２; (３)(x１－x２)２＝(x１＋x２)２－４x１x２; (４) x１ x２＋ x２ x１＝ (x１＋x２)２－２x１x２ x１x２ ; (５) １ x２１ ＋ １ x２２ ＝ (x１＋x２)２－２x１x２ (x１x２)２ ; (６)|x１－x２|＝ (x１＋x２)２－４x１x２ 利用一元二次方程的根与系 数的关系进一步讨论根的符号 设一 元 二 次 方 程ax２ ＋ bx＋c＝０(a≠０)的 两 根 为 x１,x２,则 Δ≥０,且 x１x２＞０ (ca＞０) x１＋x２＞０ ( －ba ＞０) 两根同 为正数 x１＋x２＜０ ( －ba ＜０) 两根同 为负数 数学　九年级　上册 ２６　 续表 Δ＞０,且 x１x２＜０ (ca＜０) x１＋x２＞０ ( －ba ＞０) 两根异 号且正 根的绝 对值较 大 x１＋x２＜０ ( －ba ＜０) 两根异 号且负 根的绝 对值较 大 【例】根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方 程的两个根x１,x２ 的和与积． (１)x２－３x＝０;　　　(２)x２－５＝x; (３)２x２－３x＋１＝０． 解 (１)x１＋x２＝－ －３ １ ＝３ ,x１x２＝ ０ １＝０． (２)整理,得x２－x－５＝０, 所以x１＋x２＝－ －１ １ ＝１ ,x１x２＝ －５ １ ＝－５． (３)x１＋x２＝－ －３ ２ ＝ ３ ２ ,x１x２＝ １ ２． 常考题型解读 已知一元二次方程的一个 根,求另一个根的方法 (１)方法１(利用根与系数 的关系求解):当方程的二次 项系数、一次项系数已知,常 数项未知时,利用两根的和求 另一个根;当方程的二次项系 数、常数项已知,一次项系数 未知时,利用两根的积求另一 个根． 　　(２)方法２(利用根的定义 求解):先把方程的已知根代 入方程求出未知系数,再解方 程求另一个根． 题型一　 一元二次方程根与系数的关系的应用 已知一元二次方程的一个根,利用根与系数 的关系求另一个根 【例１】若关于x 的方程２x２＋mx－４＝０的一根为１, 则另一根为　　　　． 思路分析 思路１:利用根与系数的关系,直接列出关于 另一个根的方程,求解即可; 思路２:先把x＝１代入原方程,求得m 的值,然后再 解方程求出另一个根． 解析 解法一 利用根与系数的关系求解 设方程的另一根为x２． 因为关于x 的方程２x２＋mx－４＝０的一根为１, 则１×x２＝ －４ ２ ＝－２ ,解得x２＝－２． 解法二 利用根的定义求解 把x＝１代入原方程,得２×１２＋m－４＝０, 解得m＝２, 第二十一章　一元二次方程 ２７　 所以原方程为２x２＋２x－４＝０, 即x２＋x－２＝０,所以(x－１)(x＋２)＝０, 解得x１＝１,x２＝－２,所以方程的另一根是－２． 答案 －２ 利用根与系数的关系求某些代数式的值 【例２】(四川雅安中考)已知一元二次方程x２＋x－ ２０２１＝０ 的 两 根 分 别 为 m,n,则 １ m ＋ １ n 的 值 为 　　　　．　 思路分析 由根与系数的关系可求得m＋n 和mn 的值, 把 １ m＋ １ n 变形成用m＋n 与 mn 表示的式子,再将 m＋n 和mn 的值代入变形后的式子,求值即可． 解析 因为一元二次方程x２＋x－２０２１＝０的两根分别 为m,n,所以由根与系数的关系,得 m＋n＝－１, mn＝－２０２１, 所以 １ m＋ １ n＝ m＋n mn ＝ －１ －２０２１＝ １ ２０２１． 答案 １ ２０２１ "> 巧用根与系数的关系,求特殊代数式的值 算 → 设两根分别为m,n,计算出m＋n,mn 的值 ↓ 变 → 将所求的代数式变形为用m＋n 和mn表示的式子 ↓ 代 → 将m＋n 和mn 的值代入变形后的式子计算 利用根与系