21.2.3 因式分解法-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（人教版)

第二十一章　一元二次方程 １９　 ２１．２．３　因式分解法 􀅰理解因式分解法,能用因式分解法解一元二次方程． 􀅰能根据方程特征,灵活选择解一元二次方程的方法解方程． 􀅰理解一元二次方程“降次”———转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题． 知识点一　用因式分解法解一元二次方程 １．因式分解法:通过因式分解使一元二次方程化为两个 一次式的乘积等于０的形式,再使这两个一次式分别 等于０,从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫 做因式分解法． ２．利用因式分解解一元二次方程的一般方法 (１)提公因式法:x２＋ax＝０→x(x＋a)＝０; (２)平方差公式:x２－a２＝０→(x＋a)(x－a)＝０; (３)完全平方公式:x２±２ax＋a２＝０→(x±a)２＝０． ３．利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 　　　　　示例　　　　　　　解题模板 【例】用因式分解法解方程:x２＝３x． 移 分 化 解 → 解 移项,得 x２－３x＝０．← 移项，将方程的右 边化为０ → 因式分解,得 x(x－３)＝０．← 将方程的左边分 解成两个一次因 式的积的形式 → 所以x＝０或 x－３＝０． ← 令每个因式等于 ０，转化为两个一 元一次方程 → 解得x１＝０, x２＝３． ← 解这两个一元一次方 程，它们的解就是原 一元二次方程的根 (１)因式分解法只能 解某些特殊的一元二次方 程,不是所有的一元二次方 程都能用因式分解法求解． (２)用因式分解法解 一元二次方程时,一定要 把方程的右边化为０,否 则会出现错误． (３)用因式分解法解 方程时,不要将方程两边 同时 除 以 含 有 未 知 数 的 式子,这样容易丢根． 适合用因式分 解 法 求 解 的一元二次方程的特点 数学　九年级　上册 ２０　 解形如x２＋(a＋b)x＋ ab＝０的一元二次方程时,将 其左边因式分解,则方程化为 (x＋a)(x ＋b)＝０,所 以 x＋a＝０或x＋b＝０,即x１＝ －a,x２＝－b． 求解一元二次方程的 方法的灵活选择 (１)直接开平方法只 适用 于 一 些 特 殊 结 构 的 一元二次方程．如x２＝p (p≥０),(x＋n)２＝p(p≥ ０),(mx＋n)２＝p(m≠０, p≥０)等形式的方程． (２)当一元二次方程 的二次项系数为１,一次 项系数为偶数时,用配方 法比较简单． (３)公式法是由配方 法推导出来的,故能用公 式法 求 解 的 一 元 二 次 方 程一 定 可 以 用 配 方 法 来 求解． 当解 一 个 一 元 二 次 方程 用 其 他 方 法 都 不 简 单时,可选用公式法． (４)因式分解法只适 用于方程的一边等于０, 另一 边 易 于 分 解 因 式 的 一些特殊方程． 　　用因式分解法求解的两种方程 (１)解形如x２＋bx＝０的一元二次方程时,将方 程的左边运用提公因式法因式分解得x(x＋b)＝０, 则x＝０或x＋b＝０,即x１＝０,x２＝－b． (２)解形如x２－a２＝０的一元二次方程时,将方 程的左边运用平方差公式因式分解得(x＋a)(x－a)＝ ０,则x＋a＝０或x－a＝０,即x１＝－a,x２＝a． 知识点二　灵活选用合适的方法解一元二次方程 求解一元二次方程的各种方法的特点及举例 方法 特点 举例 直接开 平方法 解一元二次方程最简 单的方法．若方程可化 为(mx＋n)２＝p(m≠ ０,p≥０)的形式,则宜 选 用 直 接 开 平 方 法 求解 　(２x＋３)２＝９． 解:直接开平方,得 ２x＋ ３＝３或２x＋３＝－３, 所以x１＝０,x２＝－３ 配方法 解一元二次方程最基 本的方法,它适用于解 所有的一元二次方程． 配方法要先配方,再降 次．通过配方法可以推 出求根公式 　x２＋６x＋６＝０． 解:移 项、配 方,得 (x ＋ ３)２＝３． 开平方,得x＋３＝ ３或x＋ ３＝－ ３,所以x１＝－３＋ ３,x２＝－３－ ３ 公式法 解一元二次方程最通 用的方法,它适用于解 所有的一元二次方程． 公式法是直接利用求 根公式解方程 　x２＋３x＝１． 解:移项,得x２＋３x－１＝０, 所以a＝１,b＝３,c＝－１． 因为b２－４ac＝３２－４×１× (－１)＝１３＞０,所以 x＝ －３± １３ ２×１ , 所以x１＝ －３＋ １３ ２ , x２＝ －３－ １３ ２ 第二十一章　一元二次方程 ２１　 续表 方法 特点 举例 因式 分解法 解一元二次方程较简 单的方法．当方程的一 边为０,另一边易化为 两个一次因式的积时, 就可优先选用因式分 解法求解 　(x－４)２＝６(x－４)． 解:移项,得 (x－４)２－６(x－４)＝０． 因式分解,得 (x－４)(x－１０)＝０． 于是得x－４＝０或x－１０＝０, 所以x１＝４,x