21.2.2 公式法-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（人教版)

数学　九年级　上册 １２　 ２１．２．２　公式法 􀅰理解公式法,能用公式法解一元二次方程． 􀅰掌握一元二次方程根的判别式,能用根的判别式判别一元二次方程根的情况 及根据一元二次方程根的情况,确定字母的取值范围． (１)一元二次方程有 实数 根 包 括 一 元 二 次 方 程有 两 个 不 等 的 实 数 根 和有两个相 等 的 实数根． 此时b２－４ac≥０,切勿丢 掉等号． (２)当一元二次方程 有两个相等的实数根时, 一般 不 说 方 程 只 有 一 个 实数根． (３)当a,c 异 号 时, 一元二次方程ax２＋bx＋ c＝０(a≠０)一定有两个 不等的实数根． 知识点一　一元二次方程根的判别式 １．根的判别式及其表示 (１)根的判别式:一元二次方程ax２＋bx＋c＝０(a≠ ０)根的判别式是b２－４ac． (２)表示:通常用希腊字母“Δ”表示,即Δ＝b２－４ac． ２．一元二次方程ax２＋bx＋c＝０(a≠０)实数根的情况 Δ 的符号 方程实数根的情况 Δ＞０ 有两个不等的实数根 Δ＝０ 有两个相等的实数根 Δ＜０ 无实数根 【例１】(山东滨州中考)下列一元二次方程中,无实数根 的是 (　　) A．x２－２x－３＝０　　　　B．x２＋３x＋２＝０ C．x２－２x＋１＝０ D．x２＋２x＋３＝０ 解析 在x２－２x－３＝０中,Δ＝b２－４ac＝(－２)２－ ４×１×(－３)＝１６＞０,即该方程有两个不等的实数 根,故选项 A不符合题意;在x２＋３x＋２＝０中,Δ＝ b２－４ac＝３２－４×１×２＝１＞０,即该方程有两个不等 的实数根,故选项 B不符合题意;在x２－２x＋１＝０ 中,Δ＝b２－４ac＝(－２)２－４×１×１＝０,即该方程有 两个相等的实数根,故选项 C不符合题意;在x２＋ 第二十一章　一元二次方程 １３　 ２x＋３＝０中,Δ＝b２－４ac＝２２－４×１×３＝－８＜０, 即该方程无实数根,故选项 D符合题意．故选 D． 答案 D 　　判别式Δ 的作用大,与０的大小 关系的应用别弄错 根据一元二次方程根的判别式Δ 与０的大小关 系可以判断根的情况,反之,根的情况也可反映根的 判别式Δ 与０的大小关系．解决问题时要注意区分Δ 与０的大小关系是条件还是结论． 知识点二　用公式法解一元二次方程 １．一元二次方程的求根公式    对一元二次方程ax２＋bx＋c＝０(a≠０)进行配方,就 可 得 到 一 元 二 次 方 程 的 求 根 公 式:x ＝ －b± b２－４ac ２a (b２－４ac≥０)． ２．一元二次方程ax２＋bx＋c＝０(a≠０)的求根公式的 推导过程(配方法) ax２＋bx＋c＝０(a≠０) 　 ↓ 移项 ax２＋bx＝－c 　　　　　　　 ↓ 二次项系数化为１ x２＋ b ax＝－ c a 　　 ↓ 配方 x２＋ b ax＋ ( b ２a) ２ ＝－ c a＋ ( b ２a) ２,即 (x＋ b ２a) ２ ＝ b２－４ac ４a２ 　 　 ↓ 开平方 x＋ b ２a＝± b２－４ac ２a (b２－４ac≥０), 即x＝ －b± b２－４ac ２a (b２－４ac≥０) “一 元 二 次 方 程 有 实 数 根”隐含两个条件:①二次项 系数 不 为 ０;② 判 别 式b２ － ４ac为非负数． 一元二次方程求根公 式的推导过程中,在 最 后 开 平 方 时,x ＋ b ２a ＝ ± b２－４ac ４a２ ＝± b２－４ac |２a| , 式 子 前 面 有 双 重 符 号 “±”,所以无论a＞０还是 a＜０,等式右边最终结果 仍为± b２－４ac ２a ． 数学　九年级　上册 １４　 　　１．化:先把方程化为 一般形式:ax２＋bx＋c＝ ０(a≠０)． ２．定:确 定 a,b,c 的值． ３．算:算出b２－４ac 的值． ４．求:当b２－４ac≥ ０时,把a,b 及b２－４ac 的值代入一元二次方程 的求 根 公 式,求 得 方 程 的 根;当 b２ －４ac＜０ 时,方程没有实数根． 【例２】用公式法解方程:x２－３x＝１． 解 移项,得x２－３x－１＝０． a＝１,b＝－３,c＝－１． Δ＝b２－４ac＝(－３)２－４×１×(－１)＝１３． 因为Δ＝b２－４ac＝１３＞０, 所以x＝ －(－３)± １３ ２×１ ＝ ３± １３ ２ , 所以原方程的根是 x１＝ ３＋ １３ ２ ,x２＝ ３－ １３ ２ ． ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ïï 常考题型解读 １．(广西河池中考)关于x 的 一元二次方程x２＋mx－m－ ２＝０的根的情况是 (　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由 m 的值 确定 题型一