14.2 乘法公式-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（人教版)

第十四章　整式的乘法与因式分解 １７１　 0   0 １４．２　乘法公式 􀅰理解平方差公式、完全平方公式,并能利用公式进行简单的运算． 􀅰能应用添括号法则进行计算． 知识点一　平方差公式 １．公式 两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平 方差．符号表示:(a＋b)(a－b)＝a２－b２． ２．公式特征 (１)左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有 一项完全相同,另一项互为相反数; (２)右边是两项的平方差,即相同项的平方减去互为 相反数项的平方． 【例１】运用平方差公式计算: (１)(２x＋３y)(２x－３y);　(２)(x＋４)(４－x); (３)(３x－y)２(３x＋y)２;　(４)(２a＋b－３)(b－２a＋３)． 解 (１)(２x＋３y)(２x－３y) ＝(２x)２－(３y)２＝４x２－９y２． (２)(x＋４)(４－x)＝(４＋x)(４－x)＝１６－x２． (３)(３x－y)２(３x＋y)２ ＝[(３x－y)(３x＋y)]２ ＝(９x２－y２)２ ＝(９x２－y２)(９x２－y２) ＝８１x４－１８x２y２＋y４． (４)(２a＋b－３)(b－２a＋３) ＝[b＋(２a－３)][b－(２a－３)] ＝b２－(２a－３)２ ＝b２－(２a－３)(２a－３) ＝b２－４a２＋１２a－９． 公式 中 的a,b 可 以 代 表 数,也 可 以 代 表 式 子,当公式中的a 和b 不 是单个数字或字母时,运 用公式计算时要加括号． +  +U 0 + 数学　八年级　上册 １７２　 0   0 如图所示,图①中红色阴 影部分的面积为a２－b２,把图 ①剪拼成图②,则图②中红色 阴影部分的面积为(a＋b)(a－ b),两部分面积相等,故(a＋ b)(a－b)＝a２－b２． a a b b ab 图① a a b ab b b b ab ab 图② 首平方,尾平方, 积的２倍在中央． 0 C,LBU  UBB 平方差公式的“八般变化” (１)位置变化:(b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝ a２－b２;(２)符号变化:(－a－b)(a－b)＝(－b)２－ a２＝b２－a２;(３)系 数 变 化:(３a＋２b)(３a－２b)＝ (３a)２－(２b)２＝９a２－４b２;(４)指数变化:(a２＋b３)􀅰 (a２－b３)＝(a２)２－(b３)２＝a４－b６;(５)增项变化: (a＋２b－c)(a－２b＋c)＝a２－(２b－c)２＝a２－４b２＋ ２bc＋２bc－c２＝a２－４b２＋４bc－c２;(６)增因式变化: (a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b)＝(a２－b２)􀅰 [(－a)２－b２]＝(a２－b２)２;(７)连用公式变化:(a＋ b)􀅰(a－b)(a２＋b２)＝(a２－b２)(a２＋b２)＝a４－b４; (８)逆用公式变化:a２－b２＝(a＋b)(a－b)． 知识点二　完全平方公式 １．公式 两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上 (或减去)它们的积的２倍．符号表示:(a＋b)２＝a２＋ ２ab＋b２,(a－b)２＝a２－２ab＋b２． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋知识图解: (１)两数和的完全平方公式:(a＋b)２＝a２＋２ab＋b２． ab ab ba b a a b (２)两数差的完全平方公式:(a－b)２＝a２－２ab＋b２． ba b a b ab  ab b ab b ２．特征 (１)两个公式的等号左边都是一个二项式的平方,两 者仅有一个“符号”不同; 第十四章　整式的乘法与因式分解 １７３　 0   0 　(２)两个公式的等号右边都是二次三项式,其中首尾 两项是等号左边二项式中每一项的平方,中间一项是 左边二项式中两项乘积的２倍,两者也仅有一个“符 号”不同． 【例２】运用完全平方公式计算: (１)(x＋７)２;　(２)(１．５x－ ２ ３y) ２;　(３)(－４a－３b)２． 解 (１)(x＋７)２＝x２＋２􀅰x􀅰７＋７２＝x２＋１４x＋４９． (２)(１．５x－ ２ ３y) ２ ＝ ( ３ ２x－ ２ ３y) ２ ＝ ( ３ ２x) ２ －２􀅰 (