14.1 整式的乘法-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（人教版)

１５４　 0   0 第十四章　整式的乘法与因式分解 １４．１　整式的乘法 １４．１．１　同底数幂的乘法 １４．１．２　幂的乘方 １４．１．３　积的乘方 􀅰掌握同底数幂的乘法法则,会利用这一法则进行同底数幂的乘法运算． 􀅰理解并掌握幂的乘方运算法则,会运用幂的乘方运算法则进行幂的乘方运算． 􀅰掌握积的乘方的运算法则,能利用积的乘方的运算法则进行相应的计算和化简． m n mn a a a mUn E  (１)运用法则的前提 条件: ①乘法运算; ②底数相同． (２)单个字母或数字 可以看成指数为１的幂． 知识点一　同底数幂的乘法 １．法则 同底数幂相乘,底数不变,指数相加． ２．符号表示  
  am􀅰an＝am＋n(m,n 都是正整数)． ３．法则的推广及逆用 (１)推广:am 􀅰an􀅰􀆺􀅰ap ＝am＋n＋􀆺＋p(m,n,􀆺,p 都是正整数)． (２)逆用:am＋n＝am􀅰an(m,n 都是正整数)． 【例１】计算: (１)a５􀅰a４; (２)a􀅰(－a)２􀅰(－a)３; (３)(x＋３y)３􀅰(x＋３y)２􀅰(x＋３y); (４)(x－y)３􀅰(y－x)４． 第十四章　整式的乘法与因式分解 １５５　 0   0 　解 (１)a５􀅰a４＝a５＋４＝a９． (２)a􀅰(－a)２􀅰(－a)３＝a􀅰a２􀅰(－a３)＝－a１＋２＋３＝ －a６． (３)(x＋３y)３ 􀅰 (x＋３y)２ 􀅰 (x＋３y)＝ (x＋ ３y)３＋２＋１＝(x＋３y)６． 　(４)(x－y)３􀅰(y－x)４＝(x－y)３􀅰(x－y)４＝ (x－y)７． 　　在同底数幂的乘法中,当底数互为相反数时,经 常用到以下变形: (－a)m＝ am(m 为正偶数), －am(m 为正奇数);{ (a－b)m＝ (b－a)m(m 为正偶数), －(b－a)m(m 为正奇数)．{ 知识点二　幂的乘方 １．法则 幂的乘方,底数不变,指数相乘． ２．符号表示
a
m amnn     (m,n 都是正整数)． ３．法则的推广及逆用 (１)推广:[(am)n]p＝amnp(m,n,p 都是正整数)． (２)逆用:amn＝(am)n＝(an)m(m,n 都是正整数)． 【例２】计算: (１)[(－x)５]２; (２)m２􀅰m４􀅰(m５)２; (３)a２(－a)２(－a２)３＋a１０; (４)[(x＋y)３]６＋[－(x＋y)２]９． 解 (１)[(－x)５]２＝(－x)５×２＝(－x)１０＝x１０． (２)m２􀅰m４􀅰(m５)２＝m２􀅰m４􀅰m５×２＝m２􀅰m４􀅰 m１０＝m２＋４＋１０＝m１６． (１)同底数幂相乘,底数 可以是单项式,也可以是多项 式．底数 是 多 项 式 时,通 常 把 底数看成一个整体． (２)底数不同时,若能化 成相同底数,则先化成相同底 数,再利用同底数幂的乘法法 则计算． a a >  U ,E  (１)在幂的乘方中,底数可 以是单项式,也可以是多项式． (２)负数幂的乘方: (－am)n＝ amn,n为正偶数, －amn,n为正奇数．{ 数学　八年级　上册 １５６　 0   0 同底数幂的乘法与幂 的乘方的比较 运算 种类 公式 法则中 的运算 计算结果 底数 指数 同底 数幂 的乘 法 am􀅰an＝ am＋n(m,n 都是正 整数) 乘法 不变 指数 相加 幂的 乘方 (am)n＝ amn(m,n 都是正整 数) 乘方 不变 指数 相乘 a ab b AU >> nU n 运用积的乘方法则时的 注意点 (１)公式中的a,b 可代表 任意式子; (２)在进行积的乘方的运 算时,要把底数中的每个因式 分别乘方,不要漏掉任何一项． 尤其是当底数中含有“－”号 时,应将其视为“－１”,作为一 个因式进行乘方． 另解： [ ( － １３a ３ ) ２ ] ２ ＝ ( － １３a ３ ) ４ ＝ ( －１３ ) ４ ·(a３)４＝ １ ８１a １２． 　(３)a２(－a)２(－a２)３＋a１０ ＝a２􀅰a２􀅰(－a６)＋a１０ ＝－a１０＋a１０＝０． (４)[(x＋y)３]６＋[－(x＋y)２]９ ＝(x＋y)１８－(x＋y)１８＝０． 4 幂的运算———定符号,用法则 当运用幂的有关运算法则计算时,要注意幂的乘 方和同底数幂的乘法之间的区别．若幂中含有负号, 先确定符号,再利用法则进行计算;若式子中同时含 有乘方与乘法运算,先算乘方,再算乘法． 知识点三　积的乘方 １．法则 积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所 得的幂相乘．简述为:积的乘方等于各因式分别