13.4 课题学习 最短路径问题-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（人教版)

第十三章　轴对称 １３９　 0   0 １３．４　课题学习　最短路径问题 􀅰理解平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的 位置的确定． 􀅰能利用轴对称、平移等变换解决实际问题中的最短路径问题． 知识点　 最短路径问题 １．两点在直线异侧的最短距离 (１)问题:若两点在直线异侧,求直线异侧的两点与直 线上一点所连线段的和最小的问题． 如图①,点A,B 分别是直线l异侧的两个点,在l上 找一个点P,使PA＋PB 最短． A B l 图① 　 A B l P 图② 　 A B lN P 图③ (２)作法:如图②,连接AB,与直线l的交点即为点 P．这时点P 是直线l上所求的点． (３)证明:如图③,N 为直线l上异于点P 的任意一 点,连接 AN,BN,由三角形的三边关系,得 AB＜ AN＋BN． 所以点P 是直线l上所求的点,所连线段的和最小, 为线段AB 的长． ２．两点在直线同侧的最短距离 (１)问题:求直线同侧的两点到直线上一点的距离和 最小的问题． 如图①,点A,B 在直线l的同侧,点C 是直线上的一个 动点,当点C 在l的什么位置时,AC 与CB 的和最小? 证明最短路径问题的依据 (１)三角形两边之和大于 第三边． (２)两点之间,线段最短． 利用轴对称找到最短 路径的方法 (１)确 定 对 称 轴,找 出定点的对称点． (２)连接对称点与另 一点确定所求位置点(或 者连 接 各 对 称 点 确 定 所 求位置点)． 数学　八年级　上册 １４０　 0   0 最短距离应用模型 “轴对称＋两点之间线段 最短”,将所求线段之和转化 为两点之间的距离,是解决两 点在直线同侧距离之和最小 问题的基本思路． 【例】另解: (１)作点A 关于直线l的 对称点A′; (２)连 接 BA′,交 直 线l 于点P; (３)点 P 即为所求的点． 如图所示． B A l A′ P 　 A B C l 图① 　　　　 B′ A B lC 图② (２)作法:如图②,作点B 关于直线l的对称点B′,连 接AB′,与直线l相交于点C,连接BC,则点C 即为 所求． B′ C′ A B lC 图③ (３)证明:如图③,在直线l 上任取一 点C′(与点 C 不重合),连接 AC′, BC′,B′C′． 由作图可知点B 和点B′关于直线l 对称, 所以直线l是线段BB′的垂直平分线． 因为点C与点C′在直线l上,所以BC＝B′C,BC′＝B′C′． 所以AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′,AC′＋BC′＝AC′＋B′C′． 在△AB′C′中,AB′＜AC′＋B′C′, 所以AC＋BC＜AC′＋BC′,即AC＋BC 最短． B A l 【例】如图,点A,B 在直线l同侧,请 你在 直 线l 上 画 出 一 点 P,使 得 PA＋PB的值最小． 解 如图所示,作点B 关于直线l的 对称点B′,连接AB′,交直线l于点P,连接BP,则 点P 即为所求的点． B A l B′ P 　　此类求线段和的最小值问题,找准对称点是关键． (１)将“同侧”问题转换成“异侧”问题; (２)利用轴对称的性质将相等线段进行转换; (３)将求线段长的和转化为求某一线段的长． 第十三章　轴对称 １４１　 0   0 常考题型解读 题型一　“一线两点”型(一动点＋两定点)最短距离问题 【例１】(１)如图①,若奶吧D 向小区A,B 提供牛奶,则 奶吧D 应建在街道l的什么地方,才能使它到小区 A,B 的距离之和最短? A B =El 图① (２)如图②,若奶吧E 向小区A,C 提供牛奶,则奶吧 E 应建在街道l的什么地方,才能使它到小区A,C 的距离之和最短? A C =El 图② 思路分析 (１)根据两点之间线段最短即可得奶吧D 的 位置; (２)作出点A 关于街道l的对称点A′,连接A′C,和 街道l的交点就是奶吧E 的位置． 解 (１)奶吧D 的位置如图所示． D A B =El (２)奶吧E 的位置如图所示． E A′ A C =El １．牧马人在A 处放牧,现在他 准备将马群赶回 B 处的家 中,但中途他必须让马到河 边l饮水一次(如图),他应 该怎样选择饮水点P,才能 使所走的路程PA＋PB 最 短? 为什么? A B l 直线异侧两点：直接连线找交点 即可． 直线同侧两点：作对称点后连线 找交点即可． 数学　八年级　上册 １４２　 0   0 ２．如图,草地边缘OM 与小河 河岸ON 在点O 处形成３０° 的夹角,牧马人从 A 地 出 发,先让马到草地吃草,然 后再去河边饮水,最后回到 A 地．已知OA＝２km,请在 图中设计一条路线,使所走 的路径最短,并求出整个过 程所行的路程． 8 !