13.3 等腰三角形-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（人教版)

数学　八年级　上册 １２６　 0   0 １３．３　等腰三角形 􀅰掌握等腰三角形、等边三角形的性质和判定方法,能进行相关的计算和证明． 􀅰掌握含３０°角的直角三角形的性质,并能解决一些简单问题． 　　　等边对等角只能在同一个 　　　三角形中使用． (１)等腰三角形是轴 对称图形,对称轴为底边 上的中线(顶角平分线、底 边上的高)所在的直线; (２)等腰三角形两腰 上的中线、高分别相等; (３)等腰三角形两底 角的平分线相等; (４)等腰三角形底边 的中点到两腰的距离相等; (５)等腰三角形底边 上任 意 一 点 到 两 腰 的 距 离之和等于一腰上的高． 知识点一　等腰三角形的性质 图形 数学语言 文字描述 在 △ABC 中,因 为 AB＝AC,所 以 ∠B ＝ ∠C 等 腰 三 角 形 的 两 个 底 角 相 等 (简 写 成 “等 边 对等角”) ① 因 为 AB ＝ AC, AD⊥BC,所以 AD 平 分∠BAC,且BD＝DC ②因为AB＝AC,BD＝ DC,所以 AD⊥BC,且 AD 平分∠BAC ③因为 AB＝AC,AD 平 分 ∠BAC,所 以 BD＝DC,且AD⊥BC 等 腰 三 角 形 的 顶角平分线、底 边上的中线、底 边 上 的 高 相 互 重 合 (简 写 成 “三线合一”) 【例１】如图,在△ABC 中,AB＝AC,点D 是BC 的中 点,点 E 在 AB 上,BE ＝BD,∠BAC ＝７６°,求 ∠ADE 的大小． A E B D C 第十三章　轴对称 １２７　 0   0 　解 因为AB＝AC,∠BAC＝７６°, 所以∠B＝∠C＝ １ ２ (１８０°－∠BAC)＝５２°． 因为BD＝BE, 所以∠BDE＝∠BED＝ １ ２ (１８０°－∠B)＝６４°． 因为点D 是BC 的中点,所以AD⊥BC, 所以∠ADB＝９０°, 所以∠ADE＝∠ADB－∠BDE＝２６°． 4 　　利用等腰三角形中等边对等角的性质是几何图 形中边角转化的常见技巧,利用此性质求角时,往往 结合三角形内角和定理进行求解． 知识点二　等腰三角形的判定 １．等腰三角形的判定方法   如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的 边也相等(简写成“等角对等边”)． ２．图示 B C A ?ABC
?B ?C

AB AC 【例２】如图,在△ABC 中,AB＝AC＝BD,∠ADE＝ ∠B,请说明△ADE 是等腰三角形的理由． A E B D C 解 因为AB＝BD,所以∠BAD＝∠BDA． 因为∠ADE＝∠B,∠ADE＋∠BAD＋∠AED ＝ １８０°,∠B＋∠BDA＋∠BAD＝１８０°, 所以∠AED＝∠BAD, 所以ED＝AD,所以△ADE 是等腰三角形． (１)“等边对等角”是证明 角相等常用的方法． (２)“三线合一”可以证明 两条线段相等,两个角相等, 还可以证明两条线段之间的 垂直关系． 等腰三角形中各角的范围 (１)等腰三角形的顶角可 以是锐角、直角或钝角． (２)等腰三角形的底角只 能是锐角． D, 0U06 > >, 0U0 6>U (１)应用等腰三角形的判 定和性质的前提都是必须在 同一个三角形中． (２)利用等腰三角形的判 定和性质可以证明边或角相 等,可以不用证明三角形全等． 判定与性质是互逆的,即 边相等 性质 判定 􀜩􀜨􀜑 角相等． 数学　八年级　上册 １２８　 0   0 (１)等边三角形的每个内 角都可以作为等腰三角形的 顶角(或底角)． (２)等边三角形是一种特 殊的等腰三角形,也就是说等 腰三角形包括等边三角形． (３)等边三角形具有等腰 三角形的一切性质． 等边三角形中三边的关系 一般三角形 等腰三角形 等边三角形 一般三角形 有两条边相等 →等腰 三角形 底＝腰 →等边三角形 等边三角形与等腰 三角形性质的区别 图形 性质 等腰 三角 形 两条边相等 两个底角相等 底边 上 的 中 线、底 边 上的高和顶角的平分 线互相重合 对称 轴(一 般 情 况 下 有１条) 等边 三角 形 三条边都相等 三个角都相等,且都是６０° 每一 边 上 的 中 线、高 和这一边所对的角的 平分线互相重合 对称轴(３条) 4 等腰三角形的两种判定方法 (１)根据定义判定． (２)等角对等边． 知识点三　等边三角形的性质 　等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于 ６０°． 证明: 因为BC＝AC＝AB, 所以∠A＝∠B＝∠C． 因为三角形内角和为１８０°, 所以∠A＝∠B＝∠C＝６０°． ì î í ï ï ï ï ï ï 【例３】如图,△ABC 是等边三角形,延长BC 到点E, 使CE＝ １ ２BC． 点