13.1.2 线段的垂直平分线的性质-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（人教版)

数学　八年级　上册 １０６　 0   0 １３．１．２　线段的垂直平分线的性质 􀅰理解线段的垂直平分线的性质定理和判定定理． 􀅰会利用尺规作已知线段的垂直平分线． 􀅰能运用线段的垂直平分线的性质和判定进行简单的推理、判断、计算,并能解 决一些实际问题． 线段 垂 直 平 分 线 上 的点满足两个条件: (１)点在垂直平分线上; (２)点 的 位 置 不 确 定,即点是任意的． C.U E 6 EU , 3U 3% 　　线段的垂直平分线可以 看成是到线段两端点距离相 等的所有点的集合． 知识点一　线段的垂直平分线的性质 １．性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． ２．图示 ３．符号语言 因为直线l⊥AB 于点C,AC＝BC,点P 在l上,所以 PA＝PB． 【例１】如图,在△ABC 中,EF 是AB 的垂直平分线,与 AB 交于点D,BF＝６,CF＝２,求AC 的长度． 解 因为EF 是AB 的垂直平分线,BF＝６, 所以FA＝BF＝６． 又因为CF＝２,所以AC＝FA＋CF＝６＋２＝８． 第十三章　轴对称 １０７　 0   0 　　利用线段的垂直平分线的性质可得线段相等,这 是求线段的长度或证明线段相等的常见方法． 知识点二　线段的垂直平分线的判定 １．判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平 分线上． ２．图示 ３．符号语言 因为PA＝PB,所以点 P 在线段 AB 的垂直平分 线上． 【例２】如图,E 是∠AOB 的平分线上一点,EC⊥OA, ED⊥OB,垂足分别是C,D．求证:点O 在线段CD 的垂直平分线上． 证明 因为E 是∠AOB 的平分线上一点,EC⊥OA, ED⊥OB, 所以DE＝CE．→角平分线的性质 在Rt△ODE 与Rt△OCE 中, OE＝OE, DE＝CE,{ 所以Rt△ODE≌Rt△OCE(HL), 所以OD＝OC,→用三角形全等证明线段相等 所以点O 在线段CD 的垂直平分线上． 　　判定一条直线是线段的 垂直平分线时,必须证明该直 线上有两个点到线段两端点 的距离相等． 线段的垂直平分线的 判定的常见错误表示:如 图①所示,因为PA＝PB, 所以直线PC 是线段 AB 的垂直平分线; 图① 正 确 表 示:如 图 ②, 因 为 PA ＝PB,QA ＝ QB,所 以 直 线 PQ 是 线 段AB 的垂直平分线． 图② 　　线段的垂直平分线是证 明点在直线上的方法之一,多 运用在作图中． 数学　八年级　上册 １０８　 0   0 任取的一点必须与已知点在直线 的两侧，目的是使画的弧与已知 直线有交点． 7>U 1-0U 判断 所 作 的 线 段 垂 直平分线是否正确,要注 意两个条件: (１)过线段的中点; (２)垂直于这条线段． 知识点三　尺规作图———作垂线、作垂直平分线 １．过直线外一点作这条直线的垂线 已知:直线AB 和AB 外一点C(如图)． 求作:AB 的垂线,使它经过点C． 结论:直线CF 就是所求作的垂线． ２．作线段的垂直平分线 已知:如图,线段AB． 求作:线段AB 的垂直平分线． 结论:直线CD 就是线段AB 的垂直平分线． 第十三章　轴对称 １０９　 0   0 知识点四　 画轴对称图形(或成轴对称的两个图 形)的对称轴 利用垂直平分线的作法画对称轴的步骤 (１)找:找出图形中的任意一对对应点; (２)连:连接这对对应点; (３)作:作所连线段的垂直平分线,该垂直平分线就是 成轴对称的两个图形或这个轴对称图形的一条对 称轴． 【例３】作出下列各图形的一条对称轴． 图① 　　 图② 解 如图①,直接作线段AB 或AD 的垂直平分线,注 意可以作出两条对称轴． 如图②,连接 AA′,分别以点 A,A′为圆心,以大于 １ ２AA′ 的长为半径作弧,两弧分别交于D,E 两点;作 直线DE．DE 就是所求作的对称轴． 　 　 　　　　　　　图①　　　　　　　　　　图② 4 作对称轴常用的两种画法 　　(１)找一对对应点→画对应点的连线→作所连线 段的垂直平分线． 　　(２)找两对对应点→分别取两对对应点连线的中 点→过两中点作直线． E%U E3 + ,3= FA /DU U 　　(１)对称轴就是任何 一对 对 应 点 所 连 线 段 的 垂直平分线; 　　(２)有的轴对称图形 的对称轴不止一条,所以 选取不同的对应点,作出 的对称轴可能不同． 　　找对应点时,所找对应点 最好是图形的顶点或拐点,这 样作出的图形更准确． 数学　八年级　上册 １１０　 0   0 常考题型解读 １．如图,已知∠B＝２０°,∠C＝ ２５°,若 MP 和QN 分别垂 直