12.3 角的平分线的性质-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（人教版)

数学　八年级　上册 ７４　 0   0 １２．３　角的平分线的性质 􀅰会作已知角的平分线． 􀅰理解角的平分线的性质,掌握证明几何命题的一般步骤,能利用三角形全等证 明角的平分线的性质,会利用角的平分线的性质进行证明与计算． 􀅰理解角的平分线的判定,能利用角的平分线的性质和判定解决简单的问题． 尺规作角平分线的理论依据 以主 栏 所 画 角 的 平 分线(图②)为例, 在△OMC 和△ONC 中, OM＝ON, CM＝CN, OC＝OC, ì î í ï ï ïï 所 以 △OMC ≌ △ONC (SSS)． 所以∠MOC＝∠NOC． 所以OC 平分∠AOB． 根 据 角 的 平 分 线 的 作 法,还 可 以 作 已 知 角 的 四 等 分线等． 知识点一　作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线的步骤 已知:∠AOB,如图①． 求作:∠AOB 的平分线． 图① 　　　　 图② 作图步骤: 【例１】已知:∠AOB,如图①． 求作:∠AOM,使∠AOM＝ １ ４∠AOB． A BO 图① 　　 A M C BF E O 图② 第十二章　全等三角形 ７５　 0   0 　解 作法:(１)以点O 为圆心,适当长为半径画弧,交 OA 于点E,交OB 于点F． (２)分别以点E,F 为圆心,大于 １ ２EF 的长为半径画 弧,两弧在∠AOB 的内部交于点C． (３)画射线OC． (４)同理,作∠AOC 的平分线OM,∠AOM 即为所求 (如图②所示)． 知识点二　角的平分线的性质    １．内容:角的平分线上的点到角的两边的距离相等． ２．表示:如图,因为OP 平分∠AOB,PD⊥OA 于点D, PE⊥OB 于点E,所以PD＝PE． A D CP E BO ３．作用:角的平分线的性质是证明两条线段相等的重要 方法之一,其优点是不用再证三角形全等． C D BA 【例２】如图,在 Rt△ABC 中,∠C＝ ９０°,AD 平分∠CAB,若CD＝１０, H 是AB 边上一点,则DH 的最小 值是　　　　．  解析 当DH⊥AB 时,DH 的值最小． 如图,作DH⊥AB 于点H． H C D BA 因为∠C＝９０°,AD 平分∠BAC 交BC 于点D, 所以CD＝DH(角的平分线上的点到角的两边的距 离相等)． 因为CD＝１０, 所以DH＝１０,即DH 的最小值是１０． 答案１０ 角的平分线的 性质的“两误区” (１)垂 足 的 位 置 不 对:如 图,垂 线 段 的 垂 足 应在角的两边上,而不是 在角的平分线上; (２)有 相 等 无 垂 直: 如图,PC＝PD,但 PC, PD 的 长 不 是 点 P 到 OA,OB 的距离． 所以这两种图形都不 能应用角的平分线的性质． 数学　八年级　上册 ７６　 0   0 作图要尽量规范,通过观 察、测量规范的图形可猜想有 关结论;不规范的图形容易误 导你的解题思路． (１)利用角的平分线 的判定时,一般过点P 作 两边的垂线,即添加辅助 线,这是解决此类问题的 基本方法． (２)三角形的三条角 平分线相交于一点,这一 点到三边的距离相等． 知识点三　证明一个几何命题的一般步骤 【例３】求证:全等三角形对应边 　上的高相等． 解 已 知:△ABC ≌ △EFG, AD⊥BC于点D,EM ⊥FG 于 点M,如图所示． 求证:AD＝EM． ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï 　 证明:因为△ABC≌△EFG, 所以AB＝EF,∠B＝∠F． 因为AD⊥BC,EM⊥FG, 所以∠ADB＝∠EMF＝９０°． 在△ABD 和△EFM 中, ∠B＝∠F, ∠ADB＝∠EMF, AB＝EF, ì î í ï ï ï ï 所以△ABD≌△EFM(AAS)． 所以AD＝EM． ì î í ï ï ï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï ï ï 知识点四　角的平分线的判定     １．内容:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平 分线上． ２．表示:如图,因为PD⊥OA,PE⊥OB,PD＝PE,所 以点P 在∠AOB 的平分线上． A C BE D P O ３．作用:运用角的平分线的判定,可以证明两个角相等 或一条射线是角的平分线． 第十二章　全等三角形 ７７　 0   0 【例４】如图①,已知点D,E,F 分别是△ABC 的三边 上的点,CE＝BF,且△DCE 的面积与△DBF 的面 积相等．求证:AD 平分∠BAC． A E F B D C 图① 　　　 M N A E F B D C 图② 证明 如图②,过点D 作DM⊥AB 于点M,DN⊥AC 于点N． 因为△DCE 的面积与△DBF 的面