11.3 多边形及其内角和-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（人教版)

数学　八年级　上册 ３４　 １１．３　多边形及其内角和 􀅰了解多边形及多边形的边、内角、外角、对角线等基本概念． 􀅰掌握多边形内角和公式与外角和,能解决简单的问题． 生活中的多边形很常见, 请感受生活中多边形的图形 之美． 　 　 (１)三角形是边数最 少的多边形; (２)多边形每一个顶 点处有两个外角,并且同 一个 顶 点 处 的 外 角 与 内 角互为邻补角． (３)若 没 有 特 别 说 明,本书中所遇到的多边 形都是凸多边形． 知识点一　多边形的有关概念 １．多边形  在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形 叫做多边形． 如果一个多边形由n 条线段组成,那么这个多边形叫 做n 边形．如三角形、四边形、五边形􀆺􀆺 ２．多边形的有关概念 (１)多边形的边:组成多边形的线段． C D E A B 1 (２)多边形的内角:多边形相邻两边组 成 的 角．如 图 中 五 边 形 ABCDE 的 ∠EAB,∠ABC,∠C． (３)多边形的外角:多边形的边与它的 邻边的延长线组成的角．如图中的∠１． (４)多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点 的线段．如图中的线段AD,BD． ３．凸多边形与凹多边形 (１)凸多边形:整个图形都在多边形任何一条边所在 直线的同一侧．如图①所示． 图① 　　 图② 第十一章　三角形 ３５　 　(２)凹多边形:至少有一条边,使整个图形不都在这条 边所在直线的同一侧．如图②所示． ４．正多边形 正多边形:各个角都相等,各条边都相等的多边形．例 如正三角形、正方形等(如图)． 正三角形 　 正方形 　 正五边形 　 正六边形 【例１】一个七边形有　　　　个顶点,　　　　个内 角,　　　　个外角,从一个顶点出发可画　　　　 条对角线,它共有　　　　条对角线． 解析 七边形共有７个顶点,７个内角,１４个外角,从 一个顶点出发,可画４条对角线,由画图可知七边形 的对角线共有１４条,还可以根据n 边形的对角线条 数为 n(n－３) ２ ,当n＝７时,求得共有１４条对角线． 答案７　７　１４　４　１４ 多边形中几个“威力无穷”的数量关系 (１)顶点、边数、内角和外角:一个n 边形有n 个 顶点,n 条边,n 个内角,２n 个外角; (２)对角线条数:n 边形从一个顶点出发,能画出 (n－３)条对角线,共有 n(n－３) ２ 条对角线． 知识点二　多边形的内角和与外角和 １．多边形的内角和 (１)公式:n 边形内角和等于(n－２)×１８０°． (２)探究过程:以五边形、六边形为例． 五边形　　　 从一个顶点出发,可以作２条对角线,它 们将五边形分成３个三角形,五边形的 内角和等于１８０°×３＝５４０°; + DF,0U  D >F ,0= U 对于公式 n(n－３) ２ 的说明: (１)已知n 可求对角线的 条数; (２)已 知 对 角 线 的 条 数, 求n 的值时,可用特殊值法． (１)n 边形边上异于 顶点的任意一点与所有顶 点连线,可以作出(n－１)个 三角形．如图①,六边形可 分成６－１＝５(个)三角形． 图① 　　 图② (２)n 边形内部任找 一点和各个顶点连线,可以 分成n 个三角形．如图②, 五边形可分成５个三角形． 试一下,按上面两种 方法分多边形,你能推导 出多边形内角和公式吗? 数学　八年级　上册 ３６　 (１)多边形的外角和是一 个固定不变的值,与多边形的 边数无关． (２)n 边形有２n 个外角, 而外角和是每个顶点处各取 一个外角后求的和,不是所有 外角的和． (１)多边形的内角和随边 数的变化而变化,边数每增加 １,内角和就增加１８０°; (２)正n 边形每一个内角 的度数为 (n－２)×１８０° n ,每一 个外角的度数为 ３６０° n ． 六边形　　　 从一个顶点出发,可以作３条对角线,它 们将六边形分成４个三角形,六边形的 内角和等于１８０°×４＝７２０°． 结论:从n 边形的一个顶点出发,可以作(n－３)条对 角线,它们将n 边形分为(n－２)个三角形,n 边形的 内角和等于(n－２)×１８０°． ２．多边形的外角和 (１)多边形的外角和等于３６０°． (２)探究过程:以六边形为例． 六边形　　 在每个顶点处各取一个外角,即 ∠１,∠２,∠３,∠４,∠５,∠６．六边 形的６个外角加上与它们相邻的 内角的和为１８０°×６＝１０８０°, 所以∠１＋∠２＋∠３＋∠４＋∠５＋ ∠６＝１０８０°－１８０°×(６－２)＝ ３６０°． ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï 结论:仿照上面的过程,将六边形换为n 边形,发现n 边形的外角和仍为３６０°． 【例２】若一个多边形的内角和比它的外角和的３倍少 １８０°,则这个多边