11.2 与三角形有关的角-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（人教版)

第十一章　三角形 ２１　 １１．２　与三角形有关的角 􀅰了解三角形外角的概念． 􀅰理解三角形内角和定理和三角形外角的性质． 􀅰了解辅助线的作法和作用,能应用三角形内角和定理与三角形外角的性质解 决有关问题． 知识点一　三角形内角和定理 １．定理 三角形三个内角的和等于１８０°．  􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋知识图解:如图,通过剪拼验证三角形内角和定理． ∠BAC＋ ∠ABC＋ ∠ACB＝ １８０° ２．证明过程 如图,过点A 作NM∥BC,→作辅助线 则∠B＝∠NAB,∠C＝∠MAC． 又 因 为 ∠BAC ＋ ∠NAB ＋ ∠MAC＝１８０°, 所以 ∠BAC ＋ ∠B ＋ ∠C ＝ １８０°, 即三角形的内角和等于１８０°． 【例１】如图,在△ABC 中,∠A＝４６°,CE 是∠ACB 的 平分线,B,C,D 在同一条直线上,FD∥EC,∠D＝ ４２°,求∠B 的度数． U! U>  5!U E U +> U 辅助线 　　在几何中,为了帮助解答 较难几何图形问题,在原图基 础之上另外所作的具有极大价 值的直线或者线段为辅助线． 　　任何一个三角形中,至少 有两个锐角,最多有一个钝角 或直角． 数学　八年级　上册 ２２　 如图所示(AE∥BC), 你能通过这个变化方法证 明三角形内角和定理吗? E +( K/1U 解 因为FD∥EC, 所以∠BCE＝∠D＝４２°． 因为CE 是∠ACB 的平分线, 所以∠ACB＝２∠BCE＝８４°． 因为∠A＝４６°, 所以∠B＝１８０°－８４°－４６°＝５０°．→三角形内角和定理 抓住三角形内角和定理,轻松解决两类问题 　　(１)已知三角形中两个内角的度数,可以求出第 三个内角的度数． 　　(２)已知三角形中三个内角的关系,可以求出这 三个内角的度数． 知识点二　直角三角形的性质与判定 １．直角三角形的表示 直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC． ２．直角三角形的性质与判定 性质与 判定 文字语言 几何语言 图形 性 质 直角三角 形的两个 锐角互余 在 Rt△ABC 中, 由 ∠C ＝９０°,得 ∠A＋∠B＝９０° 判 定 有两个角 互余的三 角形是直 角三角形 在 △ABC 中,由 ∠A＋ ∠B ＝９０°, 得 ∠C ＝９０°,即 △ABC 是 直 角 三 角形 第十一章　三角形 ２３　 【例２】如图,在△ABC 中,∠A＝９０°,点 D 在边AC 上,且DE∥BC,若∠ADE＝１５５°,求∠B 的度数． 解 因为∠ADE＝１５５°,∠ADE＋∠CDE＝１８０°, 所以∠CDE＝２５°． 因为DE∥BC,所以∠C＝∠CDE＝２５°． 在△ABC 中,∠A＝９０°, 所以∠B＋∠C＝９０°,→直角三角形的性质 所以∠B＝９０°－２５°＝６５°． 【例３】如图,已知 D 是线段BC 的延长线上的一点, ∠ACD＝∠ACB,∠COD＝∠B． 求证:△AOE 是直角三角形． 证 明:因 为 ∠ACD ＋ ∠ACB ＝１８０°,∠ACD ＝ ∠ACB, 所以∠ACD＝∠ACB＝９０°． 因为∠AOE＝∠COD,∠COD＝∠B, 所以∠AOE＝∠B． 由∠ACB＝９０°,得∠A＋∠B＝９０°,→直角三角形的性质  所以∠A＋∠AOE＝９０°,所以∠AEO＝９０°, 即△AOE 是直角三角形． 直角三角形的判定的两种方法 　　(１)定义:有一个角为９０° 三角形为直角三 角形． 　　(２)判定:有两个角互 余 三角形为直角三 角形． 直角三角形的性质与 判定的区别与联系 　　(１)区 别:性 质 中 直 角三角形是条件,两锐角 的关系是结论;判定中两 锐角的关系是条件,直角 三角形是结论． 　　(２)联 系:性 质 和 判 定的 理 论 依 据 都 是 三 角 形内角和定理． 　　直角三角形的两锐角互 余的性质是三角形内角和定 理的一种应用,在直角三角形 中已知一个锐角可求另一个 锐角． 数学　八年级　上册 ２４　 　　虽然三角形的外角在三 角形外部,但是不能错误地理 解为三角形外部的角就是三 角形的外角． 性 质 推 论:如 图 所 示,三角形的一个外角大 于与 它 不 相 邻 的 任 意 一 个内角． ∠１＞∠B