第一章 有理数 方法专题 比较有理数大小的方法＆考前复习笔记-【教材解读】2023秋七年级上册初一数学（人教版)

数学　七年级　上册 ８０　 方法专题 比较两个有理数的大小,常用的方法有: 根据法则比较大小、利用数轴比较大小、 作差法比较大小、作商法比较大小． １．利用法则比较有理数的大小 (１)正数大于０,０大于负数,正数大于 负数; (２)两个负数,绝对值大的反而小． 【例１】比较下列各组数的大小: (１)－７．８与－５．８;　(２)－９,３,０． 思路分析 知条件　已知两组数． 明方法　利用法则直接比较大小． 解 (１)因为|－７．８|＝７．８,|－５．８|＝５．８, 且７．８＞５．８,所以－７．８＜－５．８． (２)因为正数大于０,０大于负数, 所以３＞０＞－９． ２．利用数轴比较有理数的大小 在数轴上右边的点表示的数大于左边 的点所表示的数,离原点的距离越远, 该点所表示的数的绝对值越大． 【例２】如图,把下列各数:－２．５,－１２, －|－２|,－(－４),０,２在数轴上表示 出来,并用“＜”把它们连接起来． 思路分析 知条件　已知数轴和各数． 明方法　 把 各 个 数 在 数 轴 上 表 示 出 来,根据“右边的数大于左边 的数”比较大小． 解 在数轴上表示各数如图所示． 由数轴,知各数的大小关系为－２．５＜ －|－２|＜－１２＜０＜２＜－(－４)． ３．作差法比较有理数的大小 若x－y＞０,则x＞y; 若x－y＜０,则x＜y; 若x－y＝０,则x＝y． 【例３】比较０．３和 １ ３ 的大小． 思路分析 知条件　已知两个正数,比较大小． 明方法　利用作差法比较大小． 解 因为０．３－ １ ３＝ ３ １０－ １ ３＝－ １ ３０＜０ , 所以０．３＜ １ ３． ４．作商法比较有理数的大小 适用于同号两数大小比较,对于任意两 个正数x 和y,若x÷y＞１,则x＞y; 若x÷y＜１,则x＜y;若x÷y＝１,则 x＝y． 【例４】比较 ４９ ４８ 和 ７ ６ 的大小． 思路分析 知条件　比较两个正分数的大小． 明方法　利用作商法比较大小． 解 因为 ４９ ４８÷ ７ ６＝ ４９ ４８× ６ ７＝ ７ ８＜１ , 所以 ４９ ４８＜ ７ ６． 第一章　有理数 ８１　 考前复习笔记 回顾本章所学知识,尝试画出思维导图． 数学　七年级　上册 ８２　 专题一　有理数的相关概念 　　有理数这部分的概念较多,例如:正 数、负数、相反数、绝对值、数轴、倒数等, 这些概念有的比较抽象且不易理解,为 了加深对概念的理解,常常借助数轴来 学习． 【例１】如图,四个有理数在数轴上的对应 点分别为M,P,N,Q．若点M,N 表示 的有理数互为相反数,则图中表示绝 对值最小的数的点是 (　　) A．点 M　　　　　　B．点N C．点P D．点Q 解析 因为点 M,N 表示的有理数互为相 反数,所以两数相加等于０,所以原点 在点 M,N 两点的中点处．由 数 轴 可 知,点P 距原点最近． 答案 C 4 　　解决此类问题时,首先根据相反数 的几何意义确定原点的位置,然后利用 绝对值的几何意义,找出离原点距离最 近的点． 专题二　数轴的应用 　　数轴是联系数量关系和图形关系的 桥梁,借助数轴解决数量关系可以给我 们的解题带来很大的方便;反之,数轴上 点的位置也可通过研究这些点表示的数 之间的关系来解决． 【例２】数m,n 在数轴上的对应点如图所 示,则下列各式子正确的是 (　　) A．m＞n B．－n＞|m| C．－m＞|n| D．|m|＜|n| 解析 由数轴,知 m,n 都是负数,m＜n, 且|m|＞|n|,所以－n＜|m|,－m＞ |n|,所以只有选项C正确． 答案 C 4 　　每个有理数都能在数轴上找到它 的位置,而相反数、绝对值这些概念都 可以利用数轴进行定义和理解,因此数 轴是这一章解决许多数学问题的重要 工具． 专题三　有理数的简便运算 　　在有理数的混合运算中,灵活应用 运算律和解题技巧,可以使计算变得简 便,常用的方法有同类结合法、凑整法、 拆项法、变序法、逆用乘法分配律等． １．同类结合法 【例３】计算下列各题: (１)－３＋１２－８＋４－７－９; (２)－９＋ １ ３－７－ ２ ５－ ７ ３＋１１－ １３ ５． 解 (１)原式＝(－３－８－７－９)＋(１２＋４) ＝－２７＋１６＝－１１． (２)原式＝(－９－７＋１１)＋ ( １ ３－ ７ ３ ) ＋ ( － ２ ５－ １３ ５ ) ＝－５＋ (－２)＋(－３)＝ －１０． 第一章　有理数 ８３　 " 　　有理数加减混合运算中,可以将符 号相同的数结合在一起,也可以将分母相 同的数结合在一起,也可以根据其他标准 进行分类结合,只要有利于计算即可． ２．凑整法 【例４】计算:２．６５－ ２ ３－ １ ６＋１．０１＋ ５ ６＋ ０．３４． 解 原式＝(２．６５＋１．０１＋０．３４)＋ (