4.3.3 余角和补角-【教材解读】2023秋七年级上册初一数学（人教版)

数学　七年级　上册 ２１４　 ４．３．３　余角和补角 􀅰理解并掌握互为余角和互为补角的概念及其性质． 􀅰会求一个已知角的余角或补角． 􀅰理解并掌握表示方向的角及其画法,了解表示方向的角在实际生活中的重要作用． (１)若一个角的余角 等于它本身,则这个角等于 ４５°;若一个角的补角等于 它本身,则这个角等于９０°． (２)互余的两个角都 是锐角;互补的两个角为 一个锐角和一个钝角,或 者两个都是直角． (３)一般地,锐角∠α 的 余 角 表 示 成 (９０°－ ∠α);一个角∠α 的补角 表 示 成 (１８０°－ ∠α)．另 外,两个角互补或互余与 两个角的位置无关系．例 如:如图①②③④,∠α＝ ３０°,∠β＝１５０°,虽 然 ∠α 与∠β 有 不 同 的 位 置 关 系,但 是 ∠α 与 ∠β 都 互 为补角． 图① 图② 图③ 图④ 知识点一　余角和补角 名称 定义 数学语言 性质 余角 如果两个角的和 等 于 ９０° (直 角),那么这两个 角互为余角,简 称互余,其中一 个角是另一个角 的余角 若∠１＋∠２＝９０°,则 说 ∠１(或 ∠２)是 ∠２(或 ∠１)的 余 角,或∠１与∠２互 为余角 同角(等角) 的余角相等 补角 如果两个角的和 等 于 １８０°(平 角),那么这两个 角互为补角,简 称互补,其中一 个角是另一个角 的补角 若∠３＋∠４＝１８０°, 则说∠３(或∠４)是 ∠４(或 ∠３)的 补 角,或∠３与∠４互 为补角 同角(等角) 的补角相等 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:余角、补角都是成对出现的,单独的一个角、 三个或三个以上的角之间不能说互余或互补．例如, 当∠１＋ ∠２＋ ∠３＝９０°时,不 能 说 ∠１,∠２,∠３ 互余． 第四章　几何图形初步 ２１５　 【例１】如图,点O 在直线AB 上,并且∠AOC＝９０°, ∠BOC ＝９０°,∠EOF ＝９０°,试 判 断 ∠AOE 和 ∠COF,∠COE 和∠BOF 的大小关系． 解 因为∠EOF＝∠AOC＝∠BOC＝９０°, 所 以 ∠AOC ＝ ∠AOE ＋ ∠COE ＝９０°,∠EOF ＝ ∠COF＋∠COE＝９０°, 所以∠AOE 和∠COF 都与∠COE 互余, 根据同角的余角相等,得∠COF＝∠AOE． 同理可得∠COE＝∠BOF． 知识点二　表示方向的角 　表示方向的角通常以正北、正南方向为基准,描述物 体运动的方向,常用于航行、测绘等工作． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:几个特殊的表示方向的角,如图所示． 东北方向表示北偏东４５°方向,东南方向表示南偏 东４５°方向,西南方向表示南偏西４５°方向,西北方 向表示北偏西４５°方向． 【例２】指出图中射线OA,OC,OD 分别表示的方向． 当互补的两个 角 有 公 共 顶点和一条公共边,且另一条 边互为反向延长线时,称这两 个角 互 为 邻 补 角 (简 称 邻 补 角)．如 图,∠１ 与 ∠２ 互 为 邻 补角． (１)叙述表示方向的 角时,习惯将南或北写在 前面,东 或 西 写 在 后 面, 如“南偏西３０°”一般不说 “西偏南６０°”． (２)在 同 一 个 问 题 中,观 测 点 可 能 不 止 一 个,以不同的观测点看同 一个目标时,都要在不同 的 观 测 点 画 出 正 东、正 西、正 南、正 北 四 条 方 向线． 数学　七年级　上册 ２１６　 解 射线OA:东北方向或北偏东４５°方向; 射线OC:南偏西３０°方向; 射线OD:东南方向或南偏东４５°方向． 　　表示方向时,一般常用东、南、西、北、东南、西南、西 北、东北来说明各个方向,但事实上仅有这八个方向是不 够的,通常以正北或正南方向为基准,配以偏东或偏西的 角度来表示,注意要先找准中心再说明方向． 常考题型解读 逻辑思维 例题采用了两种方法,每 一种方法都涉及余角、补角的 定义及应用,体现了逻辑推理 能力,能够