4.3.2 角的比较与运算-【教材解读】2023秋七年级上册初一数学（人教版)

数学　七年级　上册 ２０４　 ４．３．２　角的比较与运算 􀅰会比较两个角的大小,能分析图中角的和差关系并计算． 􀅰理解角的平分线的概念,会利用角的平分线进行计算． 􀅰掌握角度的四则运算． 用叠合法比较角 的 大 小 时,一定要使两个角的顶点和 一边分别重合,另一边落在重 合边的同侧． (１)角的大小与角的 两边 画 出 部 分 的 长 度 无 关,只与角的两边张开的 幅度大小有关． (２)角的大小的关系 和角 的 度 数 的 关 系 是 一 致的,这是从“数”的角度 来进行比较的． (３)角的大小一旦确 定,它的大小就不因图形 的位置、图形的放大或缩 小而改变． 知识点一　角的比较 方法 语言叙述 举例 度 量 法 先用量角器量 出 角 的 度 数, 再比较它们的 大小 用量角器量得∠α＝３０°,∠β＝４５°, 那么∠α＜∠β 叠 合 法 把两个角的顶点 和其中一边分别 重合,另一边放 在重合边的同 侧,通过另一边 的位置关系比较 大小 EF 落在∠ABC 的 内 部,那 么 ∠ABC 大于 ∠DEF,记 作 ∠ABC＞∠DEF EF 落在∠ABC 的 外 部,那 么 ∠ABC 小于 ∠DEF,记 作 ∠ABC＜∠DEF EF 和BC 重合,那么 ∠ABC 等 于 ∠DEF, 记作∠ABC＝∠DEF 第四章　几何图形初步 ２０５　 【例１】∠ABC 与∠DEF 如图所示,分别用度量法和叠 合法比较它们的大小． 解 度量法:用量角器量得∠ABC＝５０°,∠DEF＝７０°, 即∠DEF＞∠ABC． 叠合法:如图,把∠ABC 放在∠DEF 上,使点B 和 点E 重合,边EF 和BC 重合,ED 和BA 在EF 的同 侧,从图形可以看出AB 边落在∠DEF 的内部,表明 ∠ABC 的 度 数 小 于 ∠DEF 的 度 数,即∠DEF ＞ ∠ABC． 叠合法比较两个角的大小 (１)两重合:两个角顶点和其中一条边分别重合; (２)一同侧:另一边落在重合边的同侧． 知识点二　角的和或差 名称 文字描述 数学语言 角的和 ∠AOC 是 ∠AOB 与∠BOC 的和 ∠AOC ＝ ∠AOB ＋ ∠BOC 角的差 ∠AOB 是 ∠AOC 与 ∠BOC 的 差; ∠BOC 是 ∠AOC 与∠AOB 的差 ∠AOB ＝ ∠AOC － ∠BOC;∠BOC ＝ ∠AOC－∠AOB 对于 角 的 和 (或 差) 的 意 义 可 以 从 “形 ”与 “数”两方面认识．“形”的 方面 是 从 图 中 找 一 个 角 等于已知角的和(或差); “数”的 方 面 是 一 个 角 的 度数 等 于 两 个 已 知 角 的 度数的和(或差)． 数学　七年级　上册 ２０６　 几何图形中找角 的 关 系 时要注意利用数形结合思想． (１)角的平分线是一条射 线,而不是线段或直线． (２)角还有三等分线、四 等分线等． 判断角的平分线的方法 当OD 在 ∠AOB 的 内部 且 满 足 以 下 情 况 之 一 时,可 以 判 断 OD 是 ∠AOB 的平分线: (１)∠AOD＝∠BOD; (２)∠AOD＝ １ ２∠AOB ; (３)∠BOD＝ １ ２∠AOB ; (４)∠AOB＝２∠AOD; (５)∠AOB＝２∠BOD． 【例２】如图,回答下列问题: (１)∠AOC 是哪两个角的和? (２)∠AOB 是哪两个角的差? (３)如 果 ∠AOB ＝ ∠COD,那 么 ∠AOC 与∠DOB 相等吗? 为什么? 解 (１)∠AOC＝∠AOB＋∠BOC． (２)∠AOB＝∠AOD－∠BOD＝∠AOC－∠BOC． (３)相等．因为∠AOB＝∠COD, 所以∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC, 即∠AOC＝∠DOB． 　　解决角的和差计算问题的关键是明确两角之间 的关系,重点是看一个角是在另一个角的内部还是外 部,两个角是否有公共边． 知识点三　角的平分线 文字语言 几何语言 从一 个 角 的 顶 点 出 发,把这个角分成两 个相等的角的射线, 叫做这个角的平分线 OC 是 ∠AOB 的 平 分 线,则 ∠AOC ＝ ∠COB ＝ １ ２∠AOB 或∠AOB＝２∠AOC＝２∠COB 【例３】如图,已知∠AOD＝６０°,∠BOC 是直角,OC 平 分∠AOD,求∠BOD 的度数． 解 因为∠AOD＝６０°,OC 平分∠AOD, 所以∠DOC＝ １ ２∠AOD＝ １ ２×６０°＝３０°． 因为∠BOC 是直角,所以∠BOC＝９０°, 所以∠BOD＝９０°－∠DOC＝９０°－３０°＝６０°． 第四章　几何图形初步 ２０７　 结合角平分线求角的大小 利用角平分线进行计算时,要灵活运用角平分线 的几种不同的表示方式．另外,要注意与角度有关的 隐含条件的应用． 知识点四　角度的四则运算 运算