专题07 两个计数原理与排列组合问题（精讲）-备战2022-2023学年高二数学下学期期末考试精讲精练（人教A版2019选择性必修第二册+第三册）

专题07 两个计数原理与排列组合问题 知识归纳 1.两个计数原理 （1）分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法； （2）分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法. 2.排列、组合的定义 排列的定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素 并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合的定义 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 3.排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数 公式 ＝n（n－1）·（n－2）…（n－m＋1）＝ ＝＝ 性质 ＝n！，0！＝1 ＝1，＝，＋＝ 题型归纳 题型一 两个计数原理 （一）与数字有关的问题 （二）涂色问题 （三）几何图形问题 题型二 特殊元素(位置)问题 题型三 相邻问题 题型四 不相邻问题 题型五 相邻与不相邻问题的综合 题型六 定序问题 题型七 组合问题 题型八 分组、分配问题 题型分类 题型一 两个计数原理 （一）与数字有关的问题 例1．（2023春·江苏淮安·高二淮阴中学校联考阶段练习）自然数是一个三位数，其十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把叫做“集中数”.那么，大于600的“集中数”的个数是（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 例2．（2023秋·江西萍乡·高二统考期末）从数字中任选4个组成无重复数字的四位数，满足千位和百位上的数字之和为5，则这样的偶数共有__________个. 例3．（2023春·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，能组成没有重复数字的四位数有__________个（用数字作答）. 【方法小结】 对于有限制条件的数字排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意隐含条件：0不能在首位. （二）涂色问题 例4．（2023春·江苏泰州·高二泰州中学校考阶段练习）用黑白两种颜色随机地染如图所示的5个格子，每个格子染一种颜色，则从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为______.    例5．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）用红、黄、蓝、绿四种颜色给下图着色，要求有公共边的两块不着同色．在所有着色方案中，①③⑤着相同色的方案有（    ）种    A．96 B．24 C．48 D．108 例6．（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）某小区有5个区域要种上鲜花（如图），现有四种不同品种的鲜花可供选择，每个区域只能种一种鲜花，要求相邻区域不能种同一种鲜花，则符合条件的方案有（　　）种    A．36 B．48 C．54 D．72 例7．（2023春·广东广州·高二执信中学校考阶段练习）如图，某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有（    ）种.    A．40 B．80 C．120 D．160 例8．（2023·全国·高三对口高考）如图，一环形花坛分成，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为_________种；若中间部分也种花，则不同的种法总数为_________种． 例9．（2023春·重庆·高二校联考阶段练习）如图，4个圆相交共有8个交点，用5种不同的颜色给8个交点染色（5种颜色都用），要求在同一圆上的4个交点的颜色互不相同，则不同的染色方案共有（    ）种    A．2016 B．2400 C．1920 D．96 【方法小结】 涂色问题常用的两种方法 （三）几何图形问题 例10．（2023·高二单元测试）正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有______种不同选法 例11．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）一个圆的圆周上均匀分布6个点，在这些点与圆心共7个点中，任取3个点，这3个点能构成不同的等边三角形个数为__________. 例12．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）格点是指平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点.一格点沿坐标线到原点的最短路程为该点到原点的“格点距离”（如：，则点到原点的格点距离为）.格点距离为定值的点的轨迹称为“格点圆”，该定值称