专题08 二项式定理及其应用（精讲）-备战2022-2023学年高二数学下学期期末考试精讲精练（人教A版2019选择性必修第二册+第三册）

专题08 二项式定理及其应用 知识归纳 1.二项式定理 （1）二项式定理：（a＋b）n＝an＋an－1b1＋…＋an－kbk＋…＋bn（n∈N*）； （2）通项公式：Tk＋1＝an－kbk，它表示第k＋1项； （3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为，，…，. 提醒　（1）项数为n＋1；（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n；（3）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. 2.二项式系数的性质 3.若二项展开式的通项为Tr＋1＝g（r）·xh（r）（r＝0，1，2，…，n），g（r）≠0，则： （1）h（r）＝0⇔Tr＋1是常数项； （2）h（r）是非负整数⇔Tr＋1是整式项； （3）h（r）是负整数⇔Tr＋1是分式项； （4）h（r）是整数⇔Tr＋1是有理项. 4.两个常用公式 （1）＋＋＋…＋＝2n； （2）＋＋＋…＝＋＋＋…＝2n－1. 题型归纳 题型一　二项式中的特定项及系数问题 题型二　二项式系数的性质与各项系数的和 （一）二项式系数和问题 （二）二项展开式中的系数和问题 （三）二项式系数的最值问题 （四）展开式系数最大项 题型三　多项式展开式中特定项（系数）问题 （1） 几个多项式和展开式中特定项（系数）问题 （2） 几个多项式积展开式中特定项（系数）问题 （3） 三项式展开式中特定项（系数）问题 题型四　杨辉三角及其应用 题型五　二项式应用 题型分类 题型一　二项式中的特定项及系数问题 例1．（2023春·重庆渝北·高二重庆市渝北中学校校考阶段练习）已知的二项展开式中常数项为__________．（用数字作答） 例2．（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）二项式展开式中的第三项为___________． 例3．（2023秋·河北唐山·高三统考期末）的展开式共有七项，且常数项为20，则（    ） A．1 B． C．2 D． 例4．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）设，则__________.（用数值作答） 【方法小结】 求二项展开式中特定项的步骤 题型二　二项式系数的性质与各项系数的和 （一）二项式系数和问题 例5．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）若展开式的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为______．（用数字作答） 例6．（2023秋·河南驻马店·高二确山县第一高级中学校考期末）已知的展开式中前三项的二项式系数之和为46，_____；展开式中系数最大的项________． 例7．【多选】（2023秋·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期末）已知的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（    ） A．奇数项的二项式系数和为256 B．第6项的系数最大 C．存在常数项 D．有理项共有6项 例8．（2023秋·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校联考期末）已知，. (1)若的展开式中，二项式系数之和是，求展开式中的第项； (2)若的展开式中，二项式系数最大的项仅是第项，求展开式中的常数项 （二）二项展开式中的系数和问题 9．【多选】（2023秋·辽宁锦州·高二统考期末）在的展开式中，下列说法正确的有（    ） A．所有项的二项式系数和为256 B．所有项的系数和为1 C．二项式系数最大的项为第4项 D．有理项共4项 例10．（2022春·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期末）已知．求： (1)； (2)； (3)． 例11．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二统考期末）在二项式的展开式中， (1)若，求展开式中的有理项； (2)若第4项的系数与第6项的系数比为，求： ①二项展开式中的各项的二项式系数之和； ②二项展开式中的各项的系数之和． 例12．（2023秋·安徽亳州·高二安徽省涡阳第一中学校考期末）已知，下列命题中，不正确的是（    ） A．展开式中所有项的二项式系数的和为 B．展开式中所有偶数项系数的和为 C．展开式中所有奇数项系数的和为 D． 【方法小结】 赋值法的应用 （1）对形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m，n∈N*）的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可； （2）对（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可； （3）一般地，若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f（x）展开式中各项系数之和为f（1），奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. （三）二项式系数的最值问题 例13．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）若展开式中只有第5项的二项式系数最大，则其展开式中常数项为__________. 例14．（2023秋·福建厦门·高三厦门外国语学