第12讲 幂函数-【暑假自学课】2023年新高一数学暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第12讲 幂函数 1．理解幂函数的概念； 2．会画幂函数，，，，的图象，结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化规律和性质； 3．能解决与幂函数有关的复合函数问题。 一、幂函数的概念 1、幂函数的概念：把形如函数y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2、幂函数需要满足三个条件： （1）系数为1；（2）指数α为常数；（3）后面不加任何项。 例如，，等的函数都不是幂函数． 二、幂函数的图象 同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)． 三、幂函数的性质 1、所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； 2、如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； 3、如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； 4、在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 四、画幂函数图象的技巧（类比具体幂函数） 1、当时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于的图象； 2、当时，函数的图象向轴弯曲，类似于的图象； 3、当时，函数的图象向轴弯曲，类似于的图象。 再结合函数的奇偶性就容易知道它们的图象了。 考点一：判断是否为幂函数 例1．下列函数为幂函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点二：根据函数是幂函数求参数 例2．已知幂函数f(x)＝x(α为常数)的图象经过点，则f(9)＝（ ） A． B． C．3 D． 【变式训练】幂函数在第一象限内是减函数，则（ ） A．2 B． C． D． 考点三：幂函数的定义域问题 例3．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【变式训练】给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（ ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 考点四：幂函数的图象判断与应用 例4．如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（ ） A．①，②，③ B．①，②，③ C．①，②，③ D．①，②，③ 【变式训练】如图所示，图中的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知取，四个值，则相应于，，，的依次为（ ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 考点五：幂函数图象过定点 例5．当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为________． 【变式训练】不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是___________． 考点六：幂函数的单调性与奇偶性 例6．下列函数中，在区间上为增函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知幂函数的图象经过点，则在定义域内（ ） A．单调递增 B．单调递减 C．有最大值 D．有最小值 【变式训练2】已知幂函数的图象关于y轴对称，则的值为_________． 考点七：利用幂函数单调性解不等式 例7．已知幂函数，若，则a的取值范围是__________. 【变式训练】若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是______． 考点八：幂函数的综合应用 例8．已知幂函数，且满足：①在区间上是增函数；②对任意的，都有. （1）求同时满足①②的幂函数的解析式， （2）在（1）条件下，求时的值域. 【变式训练】已知幂函数(Z)的图象关于轴对称，且在上是单调递减函数． （1）求的值； （2）解不等式． 1．下列函数，既是幂函数，又是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 2．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 3．幂函数的图象过点，则下列说法正确的是（ ） A．偶函数，单调递增区间 B．偶函数，单调递减区间 C．偶函数，单调递增区间 D．奇函数，单调递增区间 4．幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 5．（多选）下列关于函数的描述中，正确的是（ ） A．是幂函数