第02讲 空间向量的数量积运算-【暑假预科讲义】2023年高一升高二数学暑假精品课（人教A版2019选择性必修第一册）

第02讲 空间向量的数量积运算 【人教A版2019】 ·模块一 空间向量的夹角与数量积 ·模块二 向量的投影 ·模块三 课后作业 模块一 空间向量的夹角与数量积 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 【考点1 空间向量数量积的计算】 【例1.1】（2023·江苏·高二专题练习）正方体的棱长为1，为棱的中点，则有（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023秋·福建福州·高二校考期末）如图所示，平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是（    ） A． B．1 C． D． 【变式1.1】（2023春·山西运城·高二校考阶段练习）已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则 的最大值为（    ） A．2 B．3 C．1 D．0 【变式1.2】（2023春·高二课时练习）已知正四棱柱中，底面边长，，是长方体表面上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点2 空间向量的夹角及其应用】 【例2.1】（2023·江苏·高二专题练习）已知空间向量满足，，则与的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 【例2.2】（2022秋·安徽滁州·高二校考阶段练习）已知空间向量，，，，且与垂直，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2022秋·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知不共面的三个向量都是单位向量，且夹角都是，则向量和的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（2022·高二课时练习）已知，，若与的夹角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【考点3 利用空间向量的数量积求模】 【例3.1】（2022秋·广东佛山·高二校考阶段练习）已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（    ） A． B．133 C． D．61 【例3.2】（2022秋·江西·高二统考期中）若，，为两两垂直的三个空间单位向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2022·全国·高二期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且与，的夹角都等于60°．若是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2022秋·广东广州·高二校考阶段练习）如图，三棱锥各棱的棱长是1，点是棱的中点，点在棱上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【考点4 向量垂直的应用】 【例4.1】（2022秋·河南开封·高三统考开学考试）已知，，，且与垂直，则λ等于（    ） A． B． C． D．1 【例4.2】（2023·全国·高二专题练习）已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（2023春·福建莆田·高二校考期中）在空间，已知，为单位向量，且，若，，，则实数k的值为（    ） A．－6 B．6 C．3 D．－3 【变式4.2】（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）在三维空间中，三个非零向量满足，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或锐角三角形 模块二 向量的投影 1．向量的投影 (1)如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． (2)如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所