第10讲 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式-【暑假自学课】2023年新高一数学暑假精品课（苏教版2019必修第一册）

第10讲 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 1．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数． 2．了解函数的零点与方程根的关系． 3．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．　 4．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 知识点一 二次函数的零点 1．一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点． 2．函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与x轴交点的横坐标，也是函数值为零时自变量x的值，也是函数相应的方程的实数根． 知识点二 一元二次方程的根、二次函数的图象、二次函数的零点之间的关系 当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如表所示： 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋ bx＋c＝0 的根 有两个相异 的实数根 x1，2＝ 有两个相等 的实数根 x1＝x2＝ － 没有实数根 二次函数 y＝ax2＋ bx＋c的 图象 二次函数 y＝ax2＋ bx＋c的 零点 有两个零点 x1，2＝ 有一个零点 x＝－ 无零点 知识点三 一元二次不等式及解法 1．一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式不等式，称为一元二次不等式． 2．一元二次不等式的解法 (1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤： ①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)； ②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图； ③由图象得出不等式的解集． (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解． 当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得x>n或x<m；若(x－m)(x－n)<0，则可得m<x<n. 知识点四 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异的实数根x1，2＝ 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点 有两个零点x1，2＝ 有一个零点x＝－ 无零点 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 (－∞，x1)∪(x2，＋∞) ∪ ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 (x1，x2) 1．函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围． 2．方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根． 考点一：求二次函数的零点 例1 (1)二次函数y＝x2－7x＋12的零点为________； (2)若函数y1＝x2－ax－b的图象如图所示，则函数y2＝bx2－ax－1的零点是________． 【总结】 二次函数零点的求法 (1)代数法：求出方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根，即为函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点； (2)几何法：对于不能用求根公式或分解因式求解的方程，可以将它与对应函数的图象联系起来，利用函数的性质求零点． 变式 求下列函数的零点． (1)y＝3x2－2x－1； (2)y＝ax2－x－a－1(a∈R)； (3)y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示． 考点二：函数的零点个数的判断与证明 例2 若a>2，求证： 函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点． 【总结】 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点个数的判断 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac. (1)Δ>0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个零点； (2)Δ＝0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有一个零点； (3)Δ<0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点． 变式 （1）求函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件． （2）求证：函数y＝ax2－x－a