第二章 一元二次方程 方法专题-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（北师大版)

数学　九年级　上册 ８８　 0  0 方法专题 一元二次方程的基本解法包括:直 接开平方法、配方法、公式法、因式分解 法．直接开平方法和因式分解法虽然简 便,但并非所有的方程都可采用．配方法 适用于任何一个一元二次方程,但有时 过程比较烦琐．而公式法是在配方法的基 础上,利用求根公式直接求解,比配方法 简单很多,但又不如直接开平方法和因 式分解法快捷．解一元二次方程时,注意 观察方程的特点,多向思维,可化繁为 简,化难为易． 一、一元二次方程的常规解法 １．直接开平方法 【例１】解方程: (１)１６x２－８x＋１＝２; (２)(２y－１)２＝(３y＋４)２． 思路分析 知条件　两个方程的左右两边都可以 化成完全平方式． 明方法　 最简 捷 的 方 法 ⇒ 直 接 开 平 方法． 解 (１)原方程化为(４x－１)２＝(２)２, 所以４x－１＝± ２, 所以x１＝ ２＋１ ４ ,x２＝ １－ ２ ４ ． (２)两边开平方,得２y－１＝±(３y＋４), 所以２y－１＝３y＋４或２y－１＝－３y－４, 所以y１＝－５,y２＝－ ３ ５． ２．因式分解法 【例２】解方程: (１)x２＋４x－５＝０; (２)３x(x－２)＝２(x－２)． 思路分析 知条件　(１)的左边可以因式分解; (２)的两边有公因式,移项后 可以提取公因式． 明方法　最简便易行的方法⇒因式分 解法． 解 (１)因式分解,得(x＋５)(x－１)＝０, 所以x＋５＝０或x－１＝０, 所以x１＝－５,x２＝１． (２)原方程化为３x(x－２)－２(x－ ２)＝０, (x－２)(３x－２)＝０, 所以x－２＝０或３x－２＝０, 所以x１＝２,x２＝ ２ ３． ３．配方法 【例３】解方程: (１)x２＋６x＋１＝０; (２)x２－４x＝２． 思路分析 知条件　两个方程的二次项系数都是 １,且一次项系数都是偶数． 明方法　“法力无边”的方法⇒配方法． 第二章　一元二次方程 ８９　 0  0 解 (１)移项,得x２＋６x＝－１, 配方,得x２＋６x＋９＝８, 即(x＋３)２＝８, 开平方,得x＋３＝±２２, 所以x１＝－３＋２２,x２＝－３－２２． (２)配方,得x２－４x＋４＝２＋４, 即(x－２)２＝６, 开平方,得x－２＝± ６, 所以x１＝２＋ ６,x２＝２－ ６． ４．公式法 【例４】解方程: (１)４x２－８x＋１＝０; (２)３x２－x－１＝０; (３)x(x＋２２)＋２＝０． 思路分析 知条件　三个方程的系数没有特殊之 处,考虑一元二次方程的万 能解法． 明方法　最“神通广大”的方法⇒公式法． 解 (１)因为a＝４,b＝－８,c＝１, 所以Δ＝(－８)２－４×４×１＝４８＞０, 则x＝ ８±４３ ８ ＝ ２± ３ ２ , 即x１＝ ２＋ ３ ２ ,x２＝ ２－ ３ ２ ． (２)因为a＝３,b＝－１,c＝－１, 所以Δ＝b２－４ac＝(－１)２－４×３× (－１)＝１３＞０, 则x＝ １± １３ ６ , 即x１＝ １＋ １３ ６ ,x２＝ １－ １３ ６ ． (３)由原方程,得x２＋２２x＋２＝０． 这里a＝１,b＝２２,c＝２． 因为Δ＝b２－４ac＝(２ ２)２－４×１× ２＝０, 所以x＝ －２２±０ ２ ＝－ ２ , 即x１＝x２＝－ ２． 二、一元二次方程的特殊解法 ５．特殊配方法 【例５】解方程: (１)８x２－１２x＝１; (２)３x２－２x－８＝０． 思路分析 知条件　二次项系数是一个数的平方 或者能变成一个数的平方． 明方法　灵活采用特殊配方法． 解 (１)因为８x２－１２x＝１,  
  所以１６x２－２４x＝２, 
   所以１６x２－２４x＋９＝２＋９, 即(４x－３)２＝１１, 所以４x－３＝± １１, 解得x１＝ １１＋３ ４ ,x２＝ － １１＋３ ４ ． (２)解法一 移项,得３x２－２x＝８,  
所以x２－ ２ ３x＝ ８ ３ , 所以x２－ ２ ３x＋ １ ９＝ ８ ３＋ １ ９ , 所以 (x－ １ ３) ２ ＝ ２５ ９ , 所以x－ １ ３＝± ５ ３ , 解得x１＝２,x２＝－ ４ ３． 解法二 移项,得３x２－２x＝８, 所以９x２－６x＝２４,   所以９x２－６x＋１＝２４＋１, 数学　九年级　上册 ９０　 0  0 即(３x－１)２＝２５, 两边开平方,得３x－１＝±５, 解得x１＝２,x２＝－ ４ ３． ６．观察系数法 【例６】解方程:２０２２x２－２０００x－２２＝０． 思路分析 知条件　根据方程各项系数的特点: a＋b＋c＝０,知道方程有一 个根为x＝１． 明方法　观察系数法． 解