第一章 特殊平行四边形 考前复习笔记-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（北师大版)

数学　九年级　上册 ３６　 0  0 考前复习笔记 回顾本章所学知识,尝试画出思维导图． 第一章　特殊平行四边形 ３７　 0  0 专题一　菱形的性质与判定 (１)菱形是一种特殊的平行四边形,因此 在证明一个四边形是菱形时,除去用四 边相等证明外,要紧紧抓住平行四边形 这一先决条件,再证其特殊性———邻边 相等或对角线互相垂直． (２)菱形最主要的性质是四边相等及对 角线互相垂直平分,因此考查菱形时,经 常结合等腰三角形、直角三角形等特殊 三角形的性质进行命题． A E D B F C 【例１】如图,△ABC 与 △CDE 都 是 等 边 三 角 形,E,F 分 别 为 AC,BC 的中点． (１)求证:四边形EFCD 是菱形; (２)如果 AB＝８,求 D,F 两点间的 距离． (１)证明 因为△ABC 与△CDE 都是等 边三角形, 所以AB＝AC＝BC,ED＝DC＝EC． 因为点E,F 分别为AC,BC 的中点, 所以EF＝ １ ２AB ,EC＝ １ ２AC ,FC＝ １ ２BC． 所以EF＝EC＝FC． 所以EF＝FC＝ED＝DC． 所以四边形EFCD 是菱形． A E D G B F C (２)解 如图,连接 DF, 与EC 相交于点G． 因为四边形EFCD 是 菱形,所以DF⊥EC． 因为EF＝ １ ２AB＝４ ,EF∥AB, 所以∠FEG＝∠A＝６０°． 在Rt△EFG 中,∠EGF＝９０°, 所以∠EFG＝３０°, 所以EG＝ １ ２EF＝２ , 所以DF＝２FG＝２ EF２－EG２＝４３． 所以D,F 两点间的距离为４３． " 　　菱形具有的四条边相等及对角线 互相垂直平分的性质,使得菱形问题 往往借助等腰三角形或直角三角形来 解决． 专题二　矩形的性质与判定 (１)矩形也是一种特殊的平行四边形,因 此在证明一个四边形是矩形时,除去用 三个直角证明外,也可以先判定这个四 边形是平行四边形,再证其特殊性——— 有一个直角或对角线相等． (２)矩形最明显的性质就是有四个直角 以及对角线互相平分且相等,因此解决 与矩形有关的问题时,常用勾股定理及 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半等定理来解决． 【例２】如图,四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点O,AO＝BO＝CO, ∠BAC＝∠ACD． (１)求证:四边形ABCD 是矩形; (２)如果点 E 在边AB 上,DE 平分 ∠ADB,BD ＝ ２AB,求 证:BD ＝ AD＋AE． 数学　九年级　上册 ３８　 0  0 思路分析 知条件　公共条件是AO＝BO＝CO, ∠BAC＝∠ACD;(２)的已知 条 件 是 DE 平 分 ∠ADB, BD＝ ２AB． 求问题　(１)证明四边形ABCD 是矩形; (２)证明BD＝AD＋AE． 联知识　矩形的判定与性质,全等三 角形的判定与性质． 化关键　解题的关键是熟练掌握矩形 的判定方法,会利用线段的 截长法作辅助线． 证明 (１)在△AOB 和△COD 中, ∠BAO＝∠DCO, AO＝CO, ∠AOB＝∠COD, ì î í ï ï ï ï 所以△AOB≌△COD(ASA), 所以BO＝DO． 所以四边形ABCD 是平行四边形． 因为AO＝BO＝CO,BO＝DO, 所以AO＝BO＝CO＝DO, 所以AC＝BD, 所以▱ABCD 是矩形． (２)过点E 作EF⊥BD 于点F,如图 所示． 　　 F B A C D E O 由(１),得四边形ABCD 是矩形, 所以∠BAD＝９０°． 因为BD＝ ２AB, 所以△ABD 是等腰直角三角形, 所以∠ABD＝４５°． 因为EF⊥BD, 所以∠EFB＝∠EFD＝９０°, 所以△BEF 是等腰直角三角形, 所以FE＝FB． 因为DE 平分∠ADB, 所以∠ADE＝∠FDE． 在△ADE 和△FDE 中, ∠EAD＝∠EFD＝９０°, ∠ADE＝∠FDE, DE＝DE, ì î í ï ï ï ï 所以△ADE≌△FDE(AAS), 所以AD＝FD,AE＝FE, 所以AE＝FB． 因为BD＝FD＋FB, 所以BD＝AD＋AE． " 　　与矩形有关的问题常利用三角形 全等、直角三角形的有关性质来解决, 这是解决矩形问题的常用方法． 专题三　正方形的性质与判定 　　正方形可以理解成是菱形加矩形, 因此正方形的性质就是菱形所有的性质 加上矩形所有的性质．因此,判定一个四 边形是正方形也就是证明它既是菱形又 是矩形． 【例３】如图,四边形ABCD 为正方形,点E 为线段AC 上一点,连接DE,过点E 作 EF⊥DE,交BC 于点F,以DE,EF 为 邻边作矩形DEFG,连接CG． 第一章　特殊平行四边形 ３９