4.8 图形的位似-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（北师大版)

第四章　图形的相似 １６７　 0  0 ８　图形的位似 M > M M  > M 知识点一　位似多边形的概念 １．位似多边形必须满足的条件 (１)两个多边形是相似图形; (２)每组对应顶点所在的直线都经过同一点(位似 中心); (３)位似中心到每组对应顶点的距离的比相等,都等 于相似比． ２．常见的位似图形 常见的位似图形如图所示,它们的位似中心的位置不同． 图① 　　　 图② 图③ 　 　　 图④ 　 　　 图⑤ 【例１】如图,哪些是位似多边形? 哪些不是? 如果是位 似多边形,请找出它们的位似中心． 图① 　　 图② 　　 图③ 解 图①③是位似多边形,它们的位似中心分别为点 O,O１．而图②中的两个图形不符合位似多边形的概 念,所以它不是位似多边形． 知识点二　位似图形的性质 １．位似图形具有相似图形的所有性质． ２．位似图形特有的性质 (１)位似图形上对应顶点所在的直线必过位似中心;   > M (１)位似中心可能位于两 个位似图形的同侧(如左 图①),也可能位于两个位 似图形之间(如左图②), 还可能位于两个位似图形 的内部(如左图③)或图形 上(如左图④⑤)． (２)位似图形是具有特殊 位置关系的相似图形,但 相似 图 形 不 一 定 是 位 似 图形． 判断两个图形 是 不 是 位 似多边形,需要从两个方面去 考察:一是这两个图形是不是 相似;二是这两个图形是否有 特殊的位置关系,即每组对应 顶点所在的直线是否都经过 同一个点．   > M 数学　九年级　上册 １６８　 0  0 由于 位 似 图 形 是 特 殊的相似图形,具有相似 图形的一切性质,故一般 利用 相 似 图 形 的 性 质 来 解决位似问题． +KMU?U ,   (１)画位似图形时,要注意相 似比,即分清楚是已知原图形 与新图形的相似比,还是已知 新图形与原图形的相似比．若 新图形与原图形的相似比大 于１,则是通过位似变换把原 图形放大;若新图形与原图形 的相似比小于１,则是通过位 似变换把原图形缩小． (２)画位似图形时,可以把位 似中 心 取 在 图 形 的 外 部、内 部,还可以取在图形的边或顶 点上,只要能使画图方便且符 合要求即可． (２)位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离 之比等于相似比; (３)位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)． C A B A′ B′ C′ O 【例２】如图所示,△ABC 与△A′B′C′ 是位似图形,点O 为位似中心,已 知A′是OA 的中点,∠ACB＝９０°． (１)求证:∠A′C′B′＝９０°; (２)若S△ABC＝１,求S△A′B′C′． (１)证明 因为△ABC 与△A′B′C′是位似图形, 所以△ABC∽△A′B′C′, 所以∠A′C′B′＝∠ACB＝９０°． (２)解 因为A′是OA 的中点, 所以△ABC 与△A′B′C′的相似比为２∶１． 所以 S△ABC S△A′B′C′ ＝ ( ２ １) ２ ＝４． 因为S△ABC＝１, 所以S△A′B′C′＝ １ ４S△ABC＝ １ ４． 知识点三　位似图形的画法 画位似图形的依据是位似图形的概念及性质,一般步 骤如下: 01 02 03 04 -UM,4>!U +4 KE -+J%UE+M% +J% M E %U+!+ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:(１)画位似图形的依据是位似图形的性质:位 似图形的对应顶点和位似中心在同一条直线上,任 意一组 对 应 顶 点 到 位 似 中 心 的 距 离 之 比 等 于 相 似比． (２)画位似图形的关键是画出图形中关键顶点的对 应点,画图的方法大致有两种:一是每组对应顶点 都在位似中心的同侧;二是每组对应顶点都在位似 中心的两侧． 第四章　图形的相似 １６９　 0  0 【例３】如图,已知四边形ABCD,以点O 为位似中心, 在点O 的左侧画一个四边形A′B′C′D′,使它与四边 形ABCD 位似,且相似比为２． B A C D O 　　A′ B′ C′D′ B A C D O 解 如图所示．第１步:连接OA,OB,OC,OD,并延长 AO 到A′,延长BO 到B′,延长CO 到C′,延长 DO