4.3 相似多边形-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（北师大版)

数学　九年级　上册 １３２　 0  0 ３　相似多边形 M > M (１)相似的两个多边形边 数一定相同,边数相同的 两个 正 多 边 形 一 定 是 相 似多边形． (２)相似多边形的对应角 相等,但相等的角未必是 对应角,要放到图形中去 观 察 它 们 之 间 的 对 应 关系． 　　求相似多边形的某边的 长度或某角的度数,可根据相 似多边形对应边的比相等、对 应角相等来解题,关键是找准 对应边和对应角,从而列出恰 当的比例式,通过解方程等方 法求解即可． 知识点一　相似多边形 １．相似多边形的定义 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形． ２．相似多边形的表示 用符号“∽”表示两个多边形相似,如图所示,四边形 ABCD 与四边形EFGH 相似,记作四边形ABCD∽ 四边形EFGH． q?r  
     A B C D F G H E > D ３．相似多边形的性质 相似多边形的对应角相等,对应边成比例． 若四边形ABCD∽四边形EFGH,则∠A＝∠E,∠B＝ ∠F,∠C＝∠G,∠D＝∠H, AB EF＝ BC FG＝ CD GH＝ DA HE． 【例１】如图,四边形ABCD 和四边形EFGH 相似,求 ∠G,∠H 的大小和EH 的长度x． 21 cm 18 cm 78° A B C D 83° 　　 H 24 cm x cm 118°E F G 解 因为四边形ABCD 与四边形EFGH 相似, 所以∠G＝∠C＝８３°,∠F＝∠B＝７８°,EH ∶AD＝ EF∶AB, 所以x∶２１＝２４∶１８,解得x＝２８． 在四边形EFGH 中,∠H＝３６０°－８３°－７８°－１１８°＝８１°． 故∠G＝８３°,∠H＝８１°,x＝２８． 第四章　图形的相似 １３３　 0  0 知识点二　相似比 相似多边形对应边的比叫做相似比．相似比具有顺序性, 相似比的值和两个相似多边形的前后顺序有关．若五边 形ABCDE 与五边形A′B′C′D′E′的相似比是k,则五边 形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE 的相似比是 １ k． 【例２】若四边形ABCD 的四条边长分别是３,４,５,６,与 四边形ABCD 相似的四边形A′B′C′D′的最大边长 为１８,则四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′的相似比 是多少? 四边形 A′B′C′D′的最小边长是多少? 解 因为四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′相似,且它 们的最大边长分别为６和１８,所以四边形ABCD 与 四边形A′B′C′D′的相似比是 ６ １８＝ １ ３． 设四边形A′B′C′D′的最小边长是x． 由题意,知３ x＝ １ ３ ,解得x＝９． 所以四边形A′B′C′D′的最小边长是９． 知识点三　相似多边形的判定 判定两个多边形相似,需具备下面三个条件:   > M (１)边数相同; (２)对应角相等; (３)对应边的比相等． 2010 5 10 40 5 【例３】如图所示,试判断图中的 两个矩形是否相似． 解 这两个矩形的角是直角,因 而对应角一定相等． 小矩形的长是４０－１０－１０＝２０,宽是２０－５－５＝１０, 因为 ２０ ４０＝ １０ ２０ ,即两个矩形的对应边的比相等, 所以这两个矩形相似． 　　 要识别两个多边形(边数相同)是否相似,必须考 查对应角是否相等,对应边是否成比例．边数不同的 两个多边形一定不相似,仅有对应角相等(如矩形)或 仅有对应边成比例(如菱形)也不一定相似． (１)若两个多边形的相似 比为１,则这两个多边形 为全等多边形,即全等是 相似的一种特殊情况． (２)相似比反映多边形被 放大或缩小的程度． * UJ   U + ,! >, 0U, D U  D+!, 0 U $BD+ !,0UA, D U  >, 0 U 数学　九年级　上册 １３４　 0  0 常考题型解读 １．已知四边形 ABCD∽四边 形A１B１C１D１． (１)若 ∠A ＝４０°,∠B ＝ １１０°,∠C１＝９０°,求∠D 的 度数; (２)若 AB ＝９,CD ＝１５, A１B１＝６,A１D１＝４,B１C１＝ ８,求四边形ABCD 的周长． 题型一　相似多边形性质的应用 【例１】如图,四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′,且∠A＝ ６２°,∠B＝７５°,∠D′＝１４０°,AD＝９,A′B′＝１１,A′D′＝ ６,B′C′＝８． (１)求∠C 的度数; (２)求边AB 和BC 的长． 75°62° 9 A B D C 　　 140°6 11 8 D′ A′ B′ C′ 思路分析 (１)根据相