2.4 用因式分解法求解一元二次方程-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（北师大版)

数学　九年级　上册 ６２　 0  0 ４　用因式分解法求解一元二次方程 M > M   > M 用因式分解法解一元二次 方程的三个关键点 (１)要将方程的右边化为０; (２)熟练掌握多项式因式分解 的方法; (３)切忌方程两边同时除以含 有未知数的整式,如第(２)小题 中方程两边不能同除以x－４． 知识点一　因式分解法 １．因式分解法 描述 利用因式分解来解一元二次方程的方法 理论依据 若两个因式的积为０,则这两个因式至少有 一个为０,即若ab＝０,则a＝０或b＝０ 基本思想 通过因式分解实现“降次”,将一元二次方程 转化为两个一元一次方程 适用条件 一元二次方程的一边为０,另一边易于分解 成两个一次因式的乘积 ２．用因式分解法解一元二次方程的一般步骤
e/U/MU/+ D
eU/+D? +/
eU UD /
e?U?E /U+?











/+? 【例１】用因式分解法解下列方程: (１)７x２－４９x＝０;　(２)x(x－４)＝２x－８; (３)(２x－１)２＝(３－x)２．  
 解 (１)７x２－４９x＝０, ７x(x－７)＝０, 解得x１＝０,x２＝７． (２)因为x(x－４)＝２x－８, 所以x(x－４)－２(x－４)＝０, 则(x－４)(x－２)＝０, 所以x－４＝０或x－２＝０, 解得x１＝４,x２＝２． (３)(２x－１)２＝(３－x)２, (２x－１)２－(３－x)２＝０, 第二章　一元二次方程 ６３　 0  0 [(２x－１)＋(３－x)][(２x－１)－(３－x)]＝０, (x＋２)(３x－４)＝０, 所以x＋２＝０或３x－４＝０,所以x１＝－２,x２＝ ４ ３． 　因式分解法的常见题型和解决方法 (１)当一元二次方程的右边化成０后,方程左边的多 项式含有因式(可能是单项式,也可能是多项式)时, 可利用提公因式法分解因式求解; (２)当一元二次方程的右边化成０后,方程左边的多 项式是异号的两项,且都能写成平方的形式时,则可 以运用平方差公式分解因式求解; (３)当一元二次方程的右边化成０后,左边的多项式 有三项,其中两项能写成两个数(或式)平方的形式, 且符号相同,另一项是这两个数(或式)的积的２倍 时,则可运用完全平方公式分解因式求解． 知识点二　选择适当的方法解一元二次方程 一元二次方程主要有四种解法,如下表: 方法 理论依据 适用范围 关键步骤 直接开 平方法 平方根的意义 (x＋m)２＝n(n≥０) 开平方 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 配方 公式法 配方法 所有一元二次方程 代入求根公式 因式 分解法 若两个因式的 积 为 ０,则 这 两个因式至少 有一个为０ 一边是０,另一边易 于分解成两个一次 因式的乘积的方程 因式分解 【例２】用适当的方法解方程: (１)３x(x－１)＝２－２x;　(２)(３x－２)２＝(２x－３)２; (３)３x２－１０x＋６＝０． 解 (１)因为３x(x－１)＝２－２x, 所以３x(x－１)＋２(x－１)＝０, 所以(x－１)(３x＋２)＝０, 所以x－１＝０或３x＋２＝０, 　　当一元二次方程的二次 项系数为１,一次项系数等于 两个数的和,常数项等于这两 个数的积 时,可 用 公 式x２＋ (p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋ q)分解因式求解． 数学　九年级　上册 ６４　 0  0 解一元二次方程的口诀 方程没有一次项, 直接开方最理想． 如果缺少常数项, 因式分解没商量． b,c同时不为零, 因式分解或配方． 万般无奈套公式, 因题而异择良方． 所以x１＝１,x２＝－ ２ ３．  (２)因为(３x－２)２＝(２x－３)２, 所以３x－２＝２x－３或３x－２＝３－２x, 解得x１＝－１,x２＝１． 
 
(３)３x２－１０x＋６＝０, 因为a＝３,b＝－１０,c＝６, 所以Δ＝(－１０)２－４×３×６＝２８＞０, 则x＝ －b± b２－４ac ２a ＝ １０±２７ ６ ＝ ５± ７ ３ , 即x１＝ ５＋ ７ ３ ,x２＝ ５－ ７ ３ ． 一元二次方程解法的选用原则 (１)当方程的二次项系数为１,一次项系数为偶数时, 适合用配方法; (２)当方程的两边有公因式或易于写成左边是两个因 式的积,右边是０的形式时,就可利用因式分解法 来解． (３)在上述两种方法都很难求解的情况下可考虑利用 公式法求解． 常考题型解读 １．解下列方程: (１)(x－２)２＝３(x－２); 题型一　灵活求解一元二次方程 【例１】已知