2.3 用公式法求解一元二次方程-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（北师大版)

第二章　一元二次方程 ５５　 0  0 ３　用公式法求解一元二次方程 M > M 知识点一　 一元二次方程的求根公式及用公式法 解一元二次方程 １．求根公式 一般地,对于一元二次方程ax２＋bx＋c＝０(a≠０), 当b２－４ac≥０时,它的根是x＝ －b± b２－４ac ２a ． 这 个式子叫做一元二次方程的求根公式．用求根公式解 一元二次方程的方法叫做公式法． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:“b２－４ac≥０”及“a≠０”是应用求根公式的前 提,不可忽略;若b２－４ac＜０,则一元二次方程ax２＋ bx＋c＝０(a≠０)没有实数根． ２．用公式法解一元二次方程的一般步骤 (１)把方程化为一般形式,从而确定a,b,c的值; (２)求b２－４ac的值; (３)当b２－４ac≥０时,代入求根公式求得x１,x２的值． 【例１】用公式法解下列方程: (１)x２－５x－６＝０;(２)x２＋５－２５x＝０; (３)２x(x＋１)＝－１． 解 (１)这里a＝１,b＝－５,c＝－６, 因为b２－４ac＝(－５)２－４×１×(－６)＝４９＞０, 所以x＝ －(－５)± ４９ ２×１ ＝ ５±７ ２ , 即x１＝６,x２＝－１． (２)这里a＝１,b＝－２５,c＝５, 因为b２－４ac＝(－２５)２－４×１×５＝０, 所以x＝ －(－２５)± ０ ２×１ ＝ ５ , 即x１＝x２＝ ５． 用公式法解一元二次 　方程的两点注意 (１)一定要先把方程化为一般 形式,再确定a,b,c 的值,注 意不要出现符号错误． (２)先计算b２－４ac 的值,再 确定是否代入求根公式计算 求解． 数学　九年级　上册 ５６　 0  0 　　 一 元 二 次 方 程 无 实 数根不能说成无解,因为 只是在实数范围内无解, 并不是真的无解．   > M ?M 不解方程,判断一元二次 方程的根的情况   / 7  -aUbUc+  @0b2acU /+ (３)将方程变形为２x２＋２x＋１＝０, 这里a＝２,b＝２,c＝１, 因为b２－４ac＝２２－４×２×１＝－４＜０, 所以此方程无实数根． 知识点二　根的判别式 １．根的判别式 一元二次方程ax２＋bx＋c＝０(a≠０)的根的情况可 由b２－４ac来判定,我们把b２－４ac叫做一元二次方 程ax２＋bx＋c＝０(a≠０)的根的判别式,通常用希腊 字母“Δ”表示． ２．根的判别式与一元二次方程根的关系 Δ=b24ac>0 /,0+ Δ=b24ac=0 Δ=b24ac<0 /,0+ /!  【例２】不解方程,判断下列方程的根的情况: (１)x２＋９＝６x;(２)x２＋４x＝－１; (３)３x２＋３＝２６x． 解 (１)原方程可化为x２－６x＋９＝０． 化􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 因为a＝１,b＝－６,c＝９, 定􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 所以Δ＝b２－４ac＝(－６)２－４×１×９＝０, 所以原方程有两个相等的实数根． 判􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (２)原方程可化为x２＋４x＋１＝０． 化􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 因为a＝１,b＝４,c＝１, 定􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 所以Δ＝b２－４ac＝４２－４×１×１＝１２＞０, 所以原方程有两个不相等的实数根． 判􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (３)原方程可化为３x２－２６x＋３＝０． 化􀆺􀆺􀆺􀆺 因为a＝３,b＝－２６,c＝３, 定􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 所以Δ＝b２－４ac＝(－２６)２－４×３×３＝－１２＜０, 所以原方程无实数根． 判􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 第二章　一元二次方程 ５７　 0  0 常考题型解读 题型一　利用公式法解一元二次方程 利用公式法解一元二次方程 【例１】用公式法解方程: (１)x２＋４x－６＝０;　　(２)３x２＋４x－６＝０． 思路分析 把方程化为一般形式 → 求b２－４ac→ 代入求根公式 → 得解 解 (１)因为a＝１,b＝４,c＝－６, 所以Δ＝４２－４×１×(－６)＝４０＞０, 则x＝ －b± b２－４ac ２a ＝ －４±２ １０ ２ ＝－２± １０ , 即x１＝－２＋ １０,x２＝－２－ １０． (２)因为a＝３,b＝４,c＝－６, 所以Δ＝４２－４×３×(－６)＝８８＞０, 则x＝ －